[論文レビュー] Mod-two APS index and domain-wall fermion

Hidenori Fukaya, Mikio Furuta+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、閉じた多様体上でのドメインウォールフェルミオンを用いて、mod-two Atiyah-Patodi-Singer (APS) 細分を再定式化し、非局所的なAPS境界条件の代わりに、ドメインウォールをはさんで符号が反転するフェルミオン質量項を導入する。この手法により、バルクモードとエッジモードの寄与が自然に分離され、高エネルギー物理学および凝縮系系の両方における異常流入の物理的直感的枠組みが得られる。スペクトルフローと指数論を用いた数学的に厳密な証明により、元のAPS指数との同等性が示される。

ABSTRACT

We reformulate the mod-two Atiyah-Patodi-Singer (APS) index in a physicist-friendly way using the domain-wall fermion. Our new formulation is given on a closed manifold, which is extended from the original manifold with boundary, where we instead give a fermion mass term changing its sign at the location of the original boundary. This new setup does not need the APS boundary condition, which is non-local. A mathematical proof of equivalence between the two different formulations is given by two different evaluations of the same index of a Dirac operator on a higher dimensional manifold. The domain-wall fermion allows us to separate the edge and bulk mode contributions in a natural but not in a gauge invariant way, which offers a straightforward description of the global anomaly inflow.

研究の動機と目的

• グローバル異常性の文脈において、ゲージ非不変ではあるが自然なバルクモードとエッジモードの分離を提供すること。
• 非局所的なAPS境界条件を、閉じた多様体上でのドメインウォールフェルミオン構成に置き換えること。
• 新しいドメインウォール形式と元のmod-two APS指数との間の数学的に厳密な同等性を確立すること。
• トポロジカル場理論および凝縮系系における異常流入のより明確な物理的解釈を可能にすること。
• スペクトルフローと指数論を用いて、標準的なマッピングトーラス設定を超えて異常流入メカニズムを一般化すること。

提案手法

• 境界を持つ元の多様体を拡張して閉じた多様体を構成し、フェルミオン質量が符号を変えるドメインウォールを導入する。
• ドメインウォールをはさんで -m から +m へ滑らかに変化する質量プロファイルを持つディラック作用素を定義し、異なるフェルミオン配置の連続的補間を可能にする。
• 異なる質量プロファイルの間を補間する2パラメータ族の自己共役なフレドホルム作用素を用意し、大きな m に対して可逆性を保つ。
• スペクトルフローの変形不変性を適用し、ドメインウォール族のスペクトルフローがシリンダー上の元のディラック作用素の指数に等しいことを示す。
• フレドホルム指数とスペクトルフローのグルーピング性質を用いて、閉じた多様体の構成と元のAPS指数を関連付ける。
• mod-two スペクトルフローと指数の等価性を用いて同等性を証明し、ドメインウォール設定がmod-two APS指数を再現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的なAPS境界条件に依存せずに、mod-two APS指数を再定式化できるか？
• RQ2 異常におけるバルクモードとエッジモードの寄与を物理的に意味のある方法で分離できるか？
• RQ3 ドメインウォールフェルミオンを用いて、mod-two APS指数を再現する閉じた多様体の構成が可能か？
• RQ4 ドメインウォール設定におけるスペクトルフローは、元のAPS形式と同一の指数を計算できるか？
• RQ5 グローバル異常性の文脈において、ドメインウォール形式とAPS形式の同等性が数学的・物理的に意味するところは何か？

主な発見

• ドメインウォールフェルミオンの構成により、非局所的なAPS境界条件を必要とせず、mod-two APS指数を正確に再現できた。
• スペクトルフローの観点から、ドメインウォール設定のスペクトルフローは、変形不変性とフレドホルム作用素のグルーピングを用いて、元のAPS指数と数学的に同等であることが示された。
• この手法により、ゲージ不変性は保たれないが、バルクモードとエッジモードの寄与が自然に分離され、異常流入の物理的図像が明確になった。
• 2パラメータ族の作用素と閉じた多様体上でのスペクトルフローのグルーピング公式を用いて、同等性が厳密に証明された。
• この構成により、標準的なマッピングトーラス設定を超えて異常流入メカニズムを一般化でき、任意の d+1 次元のバルク多様体を扱えるようになった。
• 証明により、閉じた多様体上のmod-two スペクトルフローが、シリンダー上のディラック作用素の指数と等しいことが示され、新しい形式の整合性が確認された。