[論文レビュー] Model $\infty$-categories II: Quillen adjunctions

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モデル ∞-圏の局所化へと、Quillen 隣接関手、二変数隣接関手、モノイダルおよび対称モノイダル構造、および豊広化されたモデル構造といった、重要な圏的構造が自然に降下することを確立する。ホモトピー論的技法を用い、ファイブレーションと局所化関手に焦点を当て、Quillen 隣接関手が局所化上に誘導する隣接関手を証明するとともに、モデル ∞-圏上のモノイダル／豊広化構造がその局所化へと持ち上がることを示し、本質的な ∞-圏的整合性を保つ。

ABSTRACT

We prove that various structures on model $\infty$-categories descend to corresponding structures on their localizations: (i) Quillen adjunctions; (ii) two-variable Quillen adjunctions; (iii) monoidal and symmetric monoidal model structures; and (iv) enriched model structures.

研究の動機と目的

• モデル ∞-圏間の Quillen 隣接関手が、それらの局所化上に自然な隣接関手を誘導することを確立すること。
• 二変数 Quillen 隣接関手が、それぞれのモデル ∞-圏の局所化上に二変数隣接関手を誘導することを示すこと。
• モノイダルおよび対称モノイダルモデル ∞-圏が、その局所化上に閉じた（それぞれ対称的）モノイダル構造を誘導することを証明すること。
• 豊広化されたモデル ∞-圏が、局所化された豊広化圏上に豊広化およびビテンソル構造を誘導することを示すこと。

提案手法

• 構造の降下を分析するために、ファイバーごとの局所化と相対的コカーティesian／コカーティesian ファイブレーションを用いる。
• Gepner-Haugseng-Nikolaus によるコカーティesian ファイブレーションのラックスコロケーションとしての理論を応用し、局所化における整合性を扱う。
• ホモトピー論的挙動を制御するために、『良い』対象（例えば、コバナール対象など）の部分圏に依存する。
• 導来二変数隣接関手と ∞-圏的設定における Quillen のモデル圏フレームワークを用いる。
• 局所化関手の対称モノイダル性を活用し、代数的構造を持ち上げる。
• 古典的モデル圏の一般化としての相対的 ∞-圏およびモデル ∞-圏の枠組みを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル ∞-圏間の Quillen 隣接関手は、それらの局所化上に隣接関手を誘導するか？
• RQ2 二変数 Quillen 隣接関手は、局所化上に二変数隣接関手へと持ち上げられるか？
• RQ3 モノイダルモデル ∞-圏は、その局所化上に閉じたモノイダル構造を誘導するか？
• RQ4 豊広化されたモデル ∞-圏は、局所化された豊広化圏上に豊広化およびビテンソル構造を誘導するか？

主な発見

• モデル ∞-圏間の Quillen 隣接関手は、その局所化上に自然な隣接関手を誘導し、Quillen 同値性が存在する場合には、対応する隣接同値を誘導する。
• 二変数 Quillen 隣接関手は、それぞれのモデル ∞-圏の局所化上に自然な二変数隣接関手を誘導する。
• （対称）モノイダルモデル ∞-圏の局所化は、自然に閉じた（それぞれ対称的）モノイダル ∞-圏である。
• V-豊広化されたモデル ∞-圏の局所化は、V の局所化上に自然に豊広化およびビテンソル構造を持つ。
• Quillen 隣接関手から得られる導来二変数隣接関手は、局所化上に自然な豊広化およびビテンソル構造を背後に持つ。
• 結果は不変的であり、点集合的モデルや局所化におけるホモトピー空間の明示的計算に依存しない。