[論文レビュー] More on one class of fractals

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、s進および非正規s進表現における制限付き桁または桁の組み合わせの使用に基づいて定義されるコッホルト型集合としてのモーラン構造を有するフラクタル集合を調査し、トポロジー的、メトリック的、フラクタル的性質に注目する。再帰的スケーリング関係を用いてハウスドルフ次元の正確な公式を導出し、非自己相似集合（例：非正規s進系下）が、同じ条件下での自己相似型と比較して、より高い次元を示す可能性があることを示している。

ABSTRACT

This article is devoted to sets having the Moran structure. The main attention is given to topological, metric, and fractal properties of certain sets whose elements have restrictions on using digits or combinations of digits in own representations.

研究の動機と目的

• s進表現における制限付き桁の使用によって定義される集合のトポロジー的、メトリック的、フラクタル的性質を分析すること。
• 非自己相似フラクタルにおけるハウスドルフ次元の理解を拡張すること、特に非正規s進および交互コッホルト級数表現から生じるフラクタルに対して。
• 再帰的スケーリングおよび測度論的技法を用いて、禁止または制約付きの桁の組み合わせを持つ集合の正確な次元公式を確立すること。
• 同じ桁制約下での自己相似および非自己相似フラクタル集合を比較し、フラクタル次元における差異を明らかにすること。
• 古典的自己相似モデルでは捉えきれない複雑なスケーリング行動を示す集合を分析することで、多フラクタル形式主義への貢献を行うこと。

提案手法

• R^nにおける極限フラクタル集合を定義するため、入れ子状で互いに素で、幾何学的に類似した集合を用いた、モノラン構成フレームワークを用いる。
• s進および非正規s進表現を用いて、特定の桁列（例：三進法における{1,2}）のみを許容する集合を定義する。
• スケーリング要因ω₁, ω₂, ω₃, ω₄と、積の恒等式を満たす列(γₖ)を含む再帰的式を用いてハウスドルフ次元を導出する。
• 桁制限付き集合と既知のフラクタル構成との関係を確立するため、セーレム関数fξを用いる。これにより次元の転送が可能になる。
• 補題6および補題7を用いて、集合の下界および上界を計算し、直径および局所的構造の境界を確立する。
• 定理13を適用して、局所的構造と次元との関係を、乗法的恒等式を満たすlim infₖ→∞ γₖを用いて関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s進または非正規s進表現における桁の組み合わせの制限が、得られるフラクタル集合のハウスドルフ次元にどのように影響するか？
• RQ2 非正規s進系を用いて構築された非自己相似フラクタルが、同じ桁制約下での自己相似型と比較して、より高いハウスドルフ次元を達成できるか？
• RQ3 混合s進系における禁止された桁パターンを有するモーラン型集合の正確なハウスドルフ次元の公式は何か？
• RQ4 スケーリング要因ω₁, ω₂, ω₃, ω₄が、非一様スケーリングの再帰的フレームワーク内での次元にどのように影響するか？
• RQ5 古典的自己相似モデルでは捉えきれない複雑で非一様なスケーリング行動を示す集合に対して、多フラクタル形式主義はどの程度拡張可能か？

主な発見

• p₀ = 1/6, p₁ = 1/3, p₂ = 1/2 のとき、自己相似集合𝕊_(P₃,0) のハウスドルフ次元は約0.408985である。
• 同じパラメータ下で非自己相似集合𝕊_(-P₃,0) のハウスドルフ次元は、約0.422592と高く、より高い次元を示す。
• p₀ = p₂ = 0.25 および p₁ = 0.5 のとき、𝕊_(P₃,0) および 𝕊_(-P₃,0) はともに自己相似的であり、ハウスドルフ次元は約0.46496である。
• 𝕊̅_(P₃,0) の閉包の直径はd(𝕊̅_(P₃,0)) = p₀ + p₁であり、内部の直径はd(𝕊̆_(P₃,0)) = 1 − p₀である。
• 集合の局所的構造は、4つのスケーリング要因ω₁, ω₂, ω₃, ω₄を含む再帰的分岐スキームによって特徴づけられ、各レベルkで2ᵏ−²個の要素が均等に分配される。
• ハウスドルフ次元はα* = lim infₖ→∞ γₖで与えられ、列(γₖ)はスケーリング要因およびその累乗を含む複雑な積方程式を満たす。