[論文レビュー] Necessary Conditions for Infinite Horizon Optimal Control Problems Revisited

Anton O. Belyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Economic theories and modelsEconomics, Econometrics and Finance被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、目的関数 functional が発散する可能性がある無限時間ホライズン最適制御問題における必要最適性条件を再考する。特に、共役変数に明示的な依存を含まない新しい境界条件を導入し、到着最適性および弱い到着最適性の下でそれが必要であることを証明する。古典的条件は、割引なしのラムゼー問題のような状況で失敗するが、本条件はそれらを凌駕する。

ABSTRACT

Necessary optimality conditions in the form of the maximum principle for control problems with infinite time horizon are considered. Both finite and infinite values of objective functional are allowed since the concept of overtaking or weakly overtaking optimality is used. New form of optimality condition is obtained and compared with the transversality conditions usually used in the literature. The examples, where these transversality conditions may fail while the new condition holds are presented. For Ramsey problem of capital accumulation a simple form of necessary optimality conditions is derived, which is also valid in the case of zero discounting.

研究の動機と目的

• 目的関数 functional が発散する無限時間ホライズン最適制御問題において、古典的境界条件が失敗する理由を解消すること。
• lim ψ(t) = 0 や lim H = 0 といった標準的条件が成立しない状況においても有効な、新たな必要最適性条件を構築すること。
• 到着最適性および弱い到着最適性の下で、特に経済成長モデルにおいても有効な、強固な必要条件の枠組みを提供すること。
• ラムゼー問題におけるゼロ割引の状況のように、従来の条件が不十分なケースにまで最大原理の適用範囲を拡張すること。
• 共役変数に明示的な依存を含まない条件を導出し、内点最適軌道を仮定する制限付き仮定に依存しない一般性の向上を図ること。

提案手法

• 無限時間問題における発散的または振動的関数 functional を許容する一般化された到着最適性および弱い到着最適性を導入する。
• 針状変種を用いた変分的アプローチにより、共役変数に明示的な依存を避ける新しい必要条件を導出する。
• 修正されたハミルトニアン構造と共役変数のコーシー型公式を用い、収束しない積分に対しても一貫性を保証する。
• 線形化された状態方程式の基本行列を用いて共役変数を表現し、新しい境界条件を導出する。
• ゼロ割引のラムゼー問題に新しい条件を適用し、標準的境界条件が失敗する状況でも有効な単純な必要条件を導出する。
• 新しい条件が、例えば式 (5) のような古典的形態を特別な場合として含み、その適用範囲を拡張することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ古典的境界条件（lim ψ(t) = 0 や lim H = 0）は、発散的関数 functional を持つ無限時間問題で失敗するのか？
• RQ2 目的関数 functional が収束しない状況でも有効な必要最適性条件を定式化できるか？
• RQ3 ラムゼー問題におけるゼロ割引状況のように、標準的条件が適用不能なケースに最大原理をどのように拡張できるか？
• RQ4 共役変数に明示的な依存を含まないが、到着最適性の下で有効な必要条件を導出できるか？
• RQ5 新しい条件が、(5) や (4) のような既存の境界条件をどのように一般化または包含するのか、どのような意味でなのか？

主な発見

• 新しい境界条件は、目的関数 functional が発散しても、到着最適性および弱い到着最適性の下で必要となる。
• 古典的条件（lim ψ(t) = 0、lim H = 0、limsup ⟨ψ(t), x(t)⟩ ≥ liminf ⟨ψ(t), x̂(t)⟩）は、割引なしのラムゼー問題では失敗するが、新しい条件は成立する。
• 新しい条件は共役変数に明示的な依存を含まないため、非内点解の状況でもより強固である。
• ゼロ割引のラムゼー問題において、本論文は標準的境界形式では捉えきれない単純で有効な必要条件を導出する。
• 新しい条件は、[1–4] の条件 (5) を一般化し、内点最適軌道を有する問題に限らない範囲にまでその有効性を拡張する。
• 証明により、新しい条件が最大原理と整合的であり、既存の形態を特別な場合として包含することを示し、理論的堅牢性を向上させる。