[論文レビュー] Nijenhuis-type variants of Local Theory of Background Independence

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、非可換ゲージ理論の局所的背景独立性理論を一般化し、リー理論的構造の代わりにシューテン–ニーベンハイス括弧とニーベンハイス–リー微分を用いるNijenhuis型一般化を導入する。これにより、正準重力における関係的理論、制約の閉包、および観測可能量の再定式化が可能になる。主たる貢献は、制約と観測可能量のゲルステンハーバー代数という新しい代数的枠組みを構築したことである。この枠組みにより、一般化されたディラック型アルゴリズム、変形量子化への道筋、および剛性とRIO不変性といった新たな選択原理が得られる。

ABSTRACT

A local resolution of the Problem of Time has recently been given, alongside reformulation as a local theory of Background Independence. The classical part of this can be viewed as requiring just Lie's Mathematics, albeit entrenched in subsequent Topology and Differential Geometry developments and extended to the setting of contemporary Physics' state spaces. We now generalize this approach by mild recategorization to one based on Nijenhuis' generalization of Lie's Mathematics, as follows. 1) Relationalism is encoded using the Nijenhuis-Lie derivative. 2) Closure is assessed using the Schouten-Nijenhuis bracket, and a `Schouten-Nijenhuis Algorithm' analogue of the Dirac and Lie Algorithms. This produces a class of Gerstenhaber algebraic structures of generators or of constraints. 3) Observables are defined by a Schouten--Nijenhuis brackets relation, reformulating the constrained canonical case as explicit PDEs to be solved using the Flow Method, and forming their own Gerstenhaber algebras of observables. Lattices of Schouten-Nijenhuis-Gerstenhaber constraint or generator algebraic substructures furthermore induce dual lattices of Gerstenhaber observables subalgebras. 4) Deformation of Gerstenhaber algebraic structures of generators or constraints encountering Rigidity gives a means of Constructing more structure from less. 5) Reallocation of Intermediary-Object Invariance gives the general Schouten-Nijenhuis-Gerstenhaber algebraic structure's analogue of posing Refoliation Invariance for GR. We finally point to general Gerstenhaber bracket and Vinogradov bracket generalizations, with the former likely to play a significant role in Backgound-Independent Deformation Quantization and Quantum Operator Algebras.

研究の動機と目的

• リー理論的構造をNijenhuis数学、特にシューテン–ニーベンハイス括弧に置き換えることで、局所的背景独立性理論を一般化すること。
• Nijenhuis–リー微分とシューテン–ニーベンハイス括弧を用いて、正準重力における関係的理論、制約の閉包、および観測可能量を再定式化すること。
• ディラックおよびリーのアルゴリズム的枠組みを拡張する、制約と観測可能量のゲルステンハーバー代数という新しい代数的枠組みを構築すること。
• Nijenhuis枠組み内での剛性と実効的中間対象再配分（RIO）不変性といった新たな選択原理を同定すること。
• ヴィノグラドフおよび一般ゲルステンハーバー括弧を用いて、変形量子化および量子演算子代数への応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 多重量場上のシューテン–ニーベンハイス（SN）括弧を用いてリー理論的構造を一般化し、ニーベンハイス–リー微分により関係的理論を符号化する。
• SN括弧を用いて、制約の閉包に類似した「シューテン–ニーベンハイスアルゴリズム」を定義する。
• 生成子とのSN括弧が消えることで観測可能量を定義し、フロー法による明示的偏微分方程式の解法を可能にする。
• 制約のためのSNG代数的部分構造のラティスと、観測可能量のための双対ラティスを構成し、それらをゲルステンハーバー代数として統合する。
• 剛性条件（H²(g^NSG, g^NSG) = 0）の下でSNG代数的構造の変形を導入し、より単純な構造からより豊かな代数的構造を構築する手段を提供する。
• SNG代数的構造への一般化として、RIO不変性を可換五角形条件として提案し、一般相対性理論における再フォリエーション不変性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nijenhuis数学は、リー理論的基盤を越えて、局所的背景独立性理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 シューテン–ニーベンハイス括弧は、正準重力における制約の閉包と観測可能量の再定式化にどのような役割を果たすか？
• RQ3 シューテン–ニーベンハイス括弧とニーベンハイス–リー微分を用いて、一般化されたディラック型アルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 剛性とRIO不変性は、Nijenhuis代数的枠組み内での選択原理としてどのように機能するか？
• RQ5 ヴィノグラドフおよび一般ゲルステンハーバー括弧は、この枠組みを変形量子化および量子演算子代数へ拡張する可能性をどのように秘めているか？

主な発見

• ニーベンハイス–リー微分は、時間依存速度の代わりに配置の変化を符号化する、正準重力における関係的理論のための新たなメカニズムを提供する。
• 「シューテン–ニーベンハイスアルゴリズム」が、ディラックおよびリーのアルゴリズムの一般化として導入され、SN括弧を用いた系の制約の閉包を体系的に行う。
• 生成子とのSN括弧が消えることで観測可能量が定義され、それらは自身のゲルステンハーバー代数を形成し、フロー法による解法が可能になる。
• 制約のためのSNG代数的部分構造のラティスは、観測可能量のための双対ラティス（ゲルステンハーバー代数）を誘導し、深い代数的双対性を明らかにする。
• 剛性（H²(g^NSG, g^NSG) = 0）の下でのSNG代数的構造の変形は、より単純な構造からより豊かな代数的構造を構築するメカニズムを提供する。
• RIO不変性は、可換五角形条件としてSNG代数的構造に一般化され、一般相対性理論における再フォリエーション不変性に類似した新たな選択原理を提供する。