[論文レビュー] Non-invertible symmetries and LSM-type constraints on a tensor product Hilbert space

Nathan Seiberg, Sahand Seifnashri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2024

Quantum many-body systems参考文献 153被引用数 10

ひとこと要約

本論文は格子のテンソル積ヒルベルト空間上の非可逆的 Kramers-Wannier型対称性とそれが連続空間対称性とどのように結びつくかを分析し、この対称性を持つ系に対してLSM型制約を導出する。

ABSTRACT

We discuss the exact non-invertible Kramers-Wannier symmetry of 1+1d lattice models on a tensor product Hilbert space of qubits. This symmetry is associated with a topological defect and a conserved operator, and the latter can be presented as a matrix product operator. Importantly, unlike its continuum counterpart, the symmetry algebra involves lattice translations. Consequently, it is not described by a fusion category. In the presence of this defect, the symmetry algebra involving parity/time-reversal is realized projectively, which is reminiscent of an anomaly. Different Hamiltonians with the same lattice non-invertible symmetry can flow in their continuum limits to infinitely many different fusion categories (with different Frobenius-Schur indicators), including, as a special case, the Ising CFT. The non-invertible symmetry leads to a constraint similar to that of Lieb-Schultz-Mattis, implying that the system cannot have a unique gapped ground state. It is either in a gapless phase or in a gapped phase with three (or a multiple of three) ground states, associated with the spontaneous breaking of the lattice non-invertible symmetry.

研究の動機と目的

• テンソル積格子空間上で単純な非可逆的対称性を動機付け定義し、これを連続的な概念と対比する。
• 有限鎖上で非可逆的 Kramers-Wannier 対称性を構築・解析する。
• 格子欠陥と平行移動が非可逆対称性と相互作用し、それらの異常を探る。
• 格子実現を連続の融合カテゴリ記述と現れる赤外での対称性へ接続する。

提案手法

• 平行移動と Z2 対称性を含む格子設定を導入し、非可逆演算子 D を D^2 = (1+η) T^{-1} と定義する。
• 格子演算子 X_j および Z_j Z_{j+1} に対する D の作用を記述する。
• Kramers-Wannier 二重性または Majorana/ボソニゼーションアプローチを用いた D の行列積演算子（MPO）構成を提供する。
• 欠陥として Z2 や対称性の双対欠陥などを含む D の演算子代数を展開する。
• 格子の D を連続の非可逆対称性 N に関連付け、それらの代数と交換関係を比較する。
• 非可逆対称性の異常の役割、パリティ/時間反転の考慮、内部対称性の出現について議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積ヒルベルト空間を持つ格子上で非可逆対称性をどのように実現でき、格子平行移動とどのように関係するか？
• RQ2 格子と連続の双方で、非可逆対称性によって生成される演算子・欠陥代数は何か？
• RQ3 格子欠陥とゲージ化手法は格子上に非可逆欠陥と演算子をどのように生み出すか？
• RQ4 非可逆格子対称性、異常、及び出現する連続この対称性の相互作用はどのようなものか？
• RQ5 非可逆格子平行移動対称性の存在から生じる Lieb–Schultz–Mattis 型制約は何か？

主な発見

• 非可逆格子平行移動演算子 D は D^2 = (1+η) T^{-1} を満たし η と可換で、Z2-偶数状態へ射影する。
• 格子演算子上の D の作用は X_j を Z_{j-1} Z_j と掛けて D によって写し、Z_{j-1} Z_j を X_{j-1} に掛けることになり、格子上の Kramers-Wannier 双対性を示す。
• 格子対称性代数は連続体の代数と異なり、鎖長 L に依存し、無限鎖では無限次元になる。
• 格子から連続への議論は、連続には出現する非可逆対称性を示し、TY fusion category 構造がアイゼン風系に関連する。
• LSM型の制約を導出：D を保存する有限範囲ハミルトニアンはギャップを欠くか、対称性を破る必要がある。対称性破れの場合には三つのセクター条件。
• 組み合わせとして三臨界 Ising モデルは、臨界点での D および η の作用と位相図を具体例として示す。