[論文レビュー] Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups

Bertrand Deroin, Sebastián Hurtado|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、実階数が2以上で中心が有限な実半単純リー群の無限大格子が、普遍被覆 SL(2,R) への全単射準同型を許す場合を除き、左順序可能でないことを証明している。この結果は、Ghys と Witte-Morris の長年の予想を解決し、境界空間上の力学的系と調和測度の技法を用いて、高ランクリー群における左順序可能な格子の完全な分類を確立する。

ABSTRACT

We prove that an irreducible lattice in a real semi-simple Lie group of real rank at least two and finite center is not left-orderable.

研究の動機と目的

• 実階数が2以上で中心が有限な高ランク実半単純リー群におけるすべての左順序可能な非可約格子を分類すること。
• Ghys と Witte-Morris が提起した、このような格子の非左順序可能性に関する予想を解決すること。
• 実直線上の作用が半同型類に関してどのように関連するかを特定し、群の構造と力学的性質を結びつけること。
• これらの格子における円形左順序および直線・円周上の位相的作用の完全な分類を確立すること。
• このような格子が、普遍被覆 SL(2,R) への全単射準同型を許す場合を除き、左順序可能でないことを、剛性および測度論的技法を用いて証明すること。

提案手法

• 対称空間の境界における調和測度の理論と、群作用による等変性を用いる。
• ポisson公式とFurstenbergの境界論を適用し、境界上の不変測度と群上の調和測度を関連付ける。
• 測度の変形を分析するための L-測度移動の概念を用い、Lusinの定理を用いて可測連続性を活用する。
• 測度空間上の測度の全般的な収縮性を用いて、左順序可能性を仮定した場合の矛盾を導出する。
• Margulis の超剛性およびZimmer プログラムの枠組みを用いて、直線上の可能な作用を制限する。
• 特に、ラミネーションの葉に沿った有界な移動を示す群元による作用の下での、境界上の測度の振る舞いに注目して、格子作用の力学的性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実階数が2以上で中心が有限な高ランク半単純リー群の非可約格子が、どのような条件下で左順序可能となるか。
• RQ2 高ランクリー群の格子が、標準的作用と半同型でない非自明な実直線への作用を許す可能性はあるか。
• RQ3 普遍被覆 SL(2,R) が、このような格子の左順序可能性を決定づける役割を果たすのはどのような点か。
• RQ4 左順序可能な高ランク格子は存在するか。もし存在するならば、どのような構造的条件を満たさなければならないか。
• RQ5 調和測度と L-測度移動が、格子の実直線上の作用の可能性をどのように制限するか。

主な発見

• 実階数が2以上で中心が有限な高ランク半単純リー群の非可約格子は、普遍被覆 SL(2,R) への全単射準同型を許す場合を除き、左順序可能でない。
• このような格子が実直線に作用する場合、そのすべての作用は、普遍被覆 SL(2,R) を通じて因数分解する作用と半同型である。
• 左順序可能な格子の存在は、普遍被覆 SL(2,R) への全単射準同型の存在を意味し、これは強い構造的制約である。
• 証明は、調和測度の L-測度移動と測度空間上の測度の全般的な収縮性から生じる矛盾に依拠している。
• 測度論的解析により、このような作用は均一な歪みの上限を要請するが、これは群元によるフローボックスの成長と矛盾する。
• この結果により、高ランクリー群における左順序可能な格子の分類が完全に完成し、幾何的群論および力学系における長年の未解決問題が解決された。