[論文レビュー] Nonlinear Connections on Gerbes, Clifford-Finsler Modules, and the Index Theorems

Sergiu I. Vacaru, Juan F. González--Hernández|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スピン構造を持たない非ホロノミックバンドル・ゲーブルに非線形接続を導入した幾何的枠組みを構築する。非ホロノミック多様体上でのクリフォード＝フィンスラー加群を定義し、ねじれのあるディラックd作用素を構成し、非ホロノミック構造に適合したアティヤ＝シンガー指数定理を証明する。ラグランジュ＝フィンスラー空間およびN接続幾何を持つリーマン＝カルタン空間に対して、チャーン類を用いた位相的特徴付けを確立する。

ABSTRACT

The geometry of nonholonomic bundle gerbes, provided with nonlinear connection structure, and nonholonomic gerbe modules is elaborated as the theory of Clifford modules on nonholonomic manifolds which positively fail to be spin. We explore an approach to such nonholonomic Dirac operators and derive the related Atiyah-Singer index formulas. There are considered certain applications in modern gravity and geometric mechanics of such Clifford-Lagrange/ Finsler gerbes and their realizations as nonholonomic Clifford and Riemann-Cartan modules.

研究の動機と目的

• 標準的なスピン構造を持たない非ホロノミック多様体へのアティヤ＝シンガー指数定理の拡張を図ること。
• 非ホロノミックバンドル・ゲーブルおよびその加群を、非線形接続（N接続）構造を用いて定義し、研究すること。
• N非ホロノミックフレームに適合したクリフォード加群上にねじれのあるディラックd作用素を構成すること。
• 非ホロノミックゲーブル加群に対してチャーン類を定義し、それらが指数公式とどのように関係するかを明らかにすること。
• 正則ラグランジュ幾何およびフィンスラー幾何が、自然に標準的N接続およびd接続を持つ非ホロノミックリーマン＝カルタン多様体の特別な場合として現れることを示すこと。

提案手法

• バンドル・ゲーブルおよびゲーブル加群の形式的枠組みを、非線形接続構造を介して非ホロノミック（N非ホロノミック）多様体へ拡張する。
• d接続（区別された接続）を導入し、適応フレームおよび構造方程式を用いてその曲率成分を計算する。
• dテンソル（例：リッチテンソルおよびスカラー曲率）をd曲率成分の縮約により定義し、一般のd接続に対して非対称なリッチテンソルを導出する。
• ササキ型の持ち上げを用いて、フィンスラー空間の接束上に標準的計量を構成し、d計量構造を誘導する。
• ラグランジュアンから標準的N接続を $ {}^{L}N_{j}^{i} = \partial G^{i}/\partial y^{j} $ により導出し、測地線スプライトおよび非線形接続幾何と関連付ける。
• N接続を用いて接束上にほぼ複素構造 $ \mathbf{F} $ を構成し、$ \mathbf{F}^2 = -I $ を満たし、d構造と整合性を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なスピン構造を持たない非ホロノミック多様体に対して、アティヤ＝シンガー指数定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 非線形（N-）接続が、非ホロノミック空間上での一貫性のあるクリフォード加群構造を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ3 ラグランジュおよびフィンスラー幾何は、標準的d接続を持つ非ホロノミックリーマン＝カルタン多様体の特別な場合としてどのように現れるか。
• RQ4 非ホロノミックゲーブル加群に対してチャーン類を定義できるか。また、それらは指数公式とどのように関係するか。
• RQ5 非線形接続および計量の観点から、d接続の曲率成分が幾何的に何を意味するか。

主な発見

• ねじれのあるディラックd作用素に対して、アティヤ＝シンガー指数公式は非ホロノミッククリフォード加群上で成り立ち、指数はN非ホロノミックゲーブル加群のチャーン類によって計算される。
• 任意の正則ラグランジュアンに対して、標準的N接続 $ {}^{L}N_{j}^{i} = \partial G^{i}/\partial y^{j} $ は非ホロノミックフレーム構造および $ \widetilde{TM} $ 上の標準的ほぼ複素構造 $ \mathbf{F} $ を誘導する。
• オイラー＝ラグランジュ方程式は、標準的半スプライト $ S = y^{i}\partial_i - 2G^{i}\partial_i $ によって定義される非線形測地線方程式と同値であり、$ 2G^{i} $ はラグランジュアンの2階微分によって決定される。
• 標準的d接続 $ {}^{L}\widehat{\mathbf{\Gamma}} $ は、ラグランジュアンの計量 $ {}^{L}g_{ij} $ およびN接続 $ {}^{L}N_{j}^{i} $ によって完全に決定され、構造方程式から明示的な曲率成分が導出される。
• スカラー曲率 $ {}^{s}\mathbf{R} $ はd計量によるリッチテンソルの縮約として定義され、$ {}^{s}\mathbf{R} = g^{ij}R_{ij} + h^{ab}R_{ab} $ であり、一般のd接続に対して非対称なリッチテンソルを有する。
• 非ホロノミックゲーブル加群のチャーン類は位相的不変量であり、正則ラグランジュ＝フィンスラー構成を特徴付ける。これは自明性に対する位相的障害を提供する。