[論文レビュー] Nontrivial Azumaya noncommutative schemes, morphisms therefrom, and their extension by the sheaf of algebras of differential operators: D-branes in a $B$-field background à la Polchinski-Grothendieck Ansatz

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Sep 12, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 64被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$B$-場背景におけるD-braneを、ねじれ付き基本モジュールを備えたアズマヤ非可換スキームを用いて記述するポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を拡張する。このスキームから目標空間$(Y, \alpha_B)$への準同型を導入し、ホロモーフィックDストリングのモジュライ空間に対する評価基準を証明するとともに、平坦接続を備えたねじれ付き$\mathcal{D}$-加群の変形量子化によって量子スペクトル被覆を実現する。

ABSTRACT

In this continuation of [L-Y1], [L-L-S-Y], [L-Y2], and [L-Y3] (arXiv:0709.1515 [math.AG], arXiv:0809.2121 [math.AG], arXiv:0901.0342 [math.AG], arXiv:0907.0268 [math.AG]), we study D-branes in a target-space with a fixed $B$-field background $(Y,α_B)$ along the line of the Polchinski-Grothendieck Ansatz, explained in [L-Y1] and further extended in the current work. We focus first on the gauge-field-twist effect of $B$-field to the Chan-Paton module on D-branes. Basic properties of the moduli space of D-branes, as morphisms from Azumaya schemes with a twisted fundamental module to $(Y,α_B)$, are given. For holomorphic D-strings, we prove a valuation-criterion property of this moduli space. The setting is then extended to take into account also the deformation-quantization-type noncommutative geometry effect of $B$-field to both the D-brane world-volume and the superstring target-space(-time) $Y$. This brings the notion of twisted ${\cal D}$-modules that are realizable as twisted locally-free coherent modules with a flat connection into the study. We use this to realize the notion of both the classical and the quantum spectral covers as morphisms from Azumaya schemes with a fundamental module (with a flat connection in the latter case) in a very special situation. The 3rd theme (subtitled "Sharp vs. Polchinski-Grothendieck") of Sec. 2.2 is to be read with the work [Sh3] (arXiv:hep-th/0102197) of Sharp while Sec. 5.2 (subtitled less appropriately "Dijkgraaf-Holland-Sułkowski-Vafa vs. Polchinski-Grothendieck") is to be read with the related sections in [D-H-S-V] (arXiv:0709.4446 [hep-th]) and [D-H-S] (arXiv:0810.4157 [hep-th]) of Dijkgraaf, Hollands, Sułkowski, and Vafa.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学を用いて、$B$-場背景におけるD-braneに対するポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を拡張すること。
• アズマヤスキームとねじれ付き基本モジュールからなるD-braneのモジュライ空間を、$(Y, \alpha_B)$への準同型として研究すること。
• $B$-場の変形量子化効果を、D-braneの世界面および目標空間$Y$の両方の幾何に組み込むこと。
• 平坦接続を備えたアズマヤスキームからの準同型として、古典的および量子的スペクトル被覆を実現すること。
• ストリング理論における既存の研究（シャープおよびダイクグラーフ＝ホランズ＝スルコフスキー＝ヴァーファの手法など）とこの枠組みを結びつけること。

提案手法

• アズマヤスキームとねじれ付き基本モジュールを備えた準同型としてD-braneをモデル化し、gerbe $\alpha_B$ を備えた目標空間$(Y, \alpha_B)$に写像する。
• $B$-場をgerbe上の接続として扱い、Čech 0-鎖$B_i$および遷移1-形式$\Lambda_{ij}$で表現することで、背景幾何を定義する。
• 量子効果をモデル化するため、平坦接続を備えた局所的に自由な連接層としてねじれ付き$\mathcal{D}$-加群を導入する。
• アフィン直線$\mathbb{A}^1$上での変形族$\varphi_{\lambda}$を構成し、$\varphi_0$が古典的スペクトル曲線を回復し、$\lambda \neq 0$のとき$\varphi_\lambda$が量子変形を与えるようにする。
• ホロモーフィックDストリングのモジュライ空間に評価基準を適用し、$\lambda = 0$における準同型の振る舞いにより、固有性（properness）を証明する。
• ワイル代数の単純性を用いて、イデアル層の量子化が失敗することを示し、代わりにスペクトル曲線そのものではなく、準同型$\varphi$の変形によって量子スペクトル被覆を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アズマヤ非可換スキームとねじれ付き層を用いて、$B$-場背景におけるD-braneを体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 ホロモーフィックDストリングのモジュライ空間の構造は何か？ そして、評価基準を満たすか？
• RQ3 平坦接続を備えた$\mathcal{D}$-加群を用いて、古典的スペクトル被覆構成を量子版に変形する方法は何か？
• RQ4 $B$-場がD-braneの世界面および目標空間$Y$の両方において非可換幾何を誘発する役割を果たすか？
• RQ5 提案された枠組みは、ダイクグラーフ＝ホランズ＝スルコフスキー＝ヴァーファおよびシャープの手法を含む、ストリング理論における既存の構成とどのように関係するか？

主な発見

• ホロモーフィックDストリングのモジュライ空間は評価基準を満たしており、与えられた幾何的制約のもとで固有性およびコンパクト性を示している。
• 古典的スペクトル曲線$\Sigma_{({\cal E},\phi)}$は、$\varphi_0_*{\cal E}$の台として回復され、これは相対次元0の平坦$\mathcal{O}_{\boldsymbol{\Omega}_W}$-加群である。
• $\lambda \neq 0$のとき、準同型$\varphi_\lambda$はスペクトル曲線の量子変形を与える。$\varphi_{\lambda*}{\cal E}$は、全体$Q_\lambda\boldsymbol{\Omega}_W$上に台を持つ。
• $\varphi_{\lambda*}{\cal E}$の特徴的多様体は、$\Omega_W/W$の零切断であるため、量子極限が良好に振る舞うことが示唆される。
• イデアル層の量子化の失敗を回避するため、スペクトル曲線そのものではなく、準同型$\varphi$の変形を用いることで、代わりに量子被覆を構成する。
• 変形$\varphi_\lambda$を用いて量子スペクトル被覆を実現することで、平坦接続を備えたアズマヤスキームに基づく、量子スペクトル曲線の新しい幾何的実現が得られる。