[論文レビュー] On dynamics of composite entire functions and singularities

Dinesh Kumar, Sanjay Kumar|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Meromorphic and Entire Functions参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、合成超越整関数の力学的挙動を調査し、$f$, $g$ およびその合成 $f\circ g$ と $g\circ f$ のファトウ集合と特異値の関係に注目する。$f$ と $g$ が可換である場合に $F(f) = F(f\circ g)$ が成り立つ条件を確立し、特に合成における臨界値および漸近値の包含関係を導出し、$f\circ g$ の臨界点が有界であると、$f$ と $g$ においても有界であることを示す。また、ピカードの例外値に対する制約も提示する。

ABSTRACT

We consider the dynamical properties of transcendental entire functions and their compositions. We give several conditions under which Fatou set of a transcendental entire function $f$ coincide with that of $f\circ g,$ where $g$ is another transcendental entire function. We also prove some result giving relationship between singular values of transcendental entire functions and their compositions.

研究の動機と目的

• 超越整関数 $f$ と別の超越整関数 $g$ に対して、$f$ のファトウ集合が合成 $f\circ g$ のそれと一致する条件を同定すること。
• $f$, $g$ およびその合成 $f\circ g$, $g\circ f$ の特異値（臨界値および漸近値）の関係を分析すること。
• $f\circ g$ の臨界点が有界である場合、$f$ と $g$ の臨界構造、特にピカードの例外値に関してどのような制約が生じるかを調査すること。
• 共役性および可換性が、$f$, $g$ 及びその合成の力学的構造をどのように関連付けるかを検討すること。

提案手法

• 正規族およびファトウ集合とジュリア集合の性質を用いて、合成における力学的挙動を分析する。
• エレメンコ＝リュービッチクラス $\mathcal{B}$ と集合 $E(f) = \bigcup_{n\geq 0} f^n(\text{Sing}\,f^{-1})$ を用いて、漂走領域と極限関数を研究する。
• 包含関係の確立：$f(AV(g)) \subset AV(f\circ g)$, $g(CP(f\circ g)) \subset CP(f) \cup CV(g)$, および $AV(f) \subset AV(f\circ g)$。
• ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を用いて、無限に多くの有界な臨界点から矛盾を導出し、ピカードの例外値に対する制約を証明する。
• 関数方程式 $f \circ g = g \circ f$（可換性）を用いて、ファトウ集合の等価性を導出する。
• 共形共役 $\phi \circ f = g \circ \phi$ を活用して、関数間の力学的関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な超越整関数 $f$ と $g$ に対して、$F(f) = F(f\circ g)$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 $f$ と $g$ の漸近値および臨界値は、$f\circ g$ と $g\circ f$ のそれらとどのように関係するか？
• RQ3 $CP(f\circ g)$ が有界である場合、$CP(f)$, $CP(g)$ および $f$ と $g$ の臨界値にどのような制約が生じるか？
• RQ4 $CP(f\circ g)$ が有界である下で、$f$ と $g$ が互いにピカードの例外値である臨界値を1つより多くもつことは可能か？
• RQ5 共役性および可換性は、ファトウ集合や特異値といった力学的構造をどの程度保つのか？

主な発見

• もし $f$ と $g$ が可換な超越整関数であれば、$F(f\circ g)$ は $f\circ g$ に関して完全不変であり、特異値に関する追加の条件のもとで $F(f) = F(f\circ g)$ が成り立つ。
• 関係 $f(AV(g)) \subset AV(f\circ g)$ が成り立つ。これは、$g$ の漸近値が合成関数の漸近値へ写像されることを示している。
• 包含関係 $g(CP(f\circ g)) \subset CP(f) \cup CV(g)$ は、$f\circ g$ の臨界点が $g$ によって $f$ や $g$ の臨界点または臨界値点へ写像されることを意味する。
• もし $CP(g\circ f)$ が有界であれば、$CP(f)$ も有界であり、$g$ は $f$ のピカードの例外値である臨界点を高々1つしか持てない。
• もし $CP(f\circ g)$ が有界であれば、$CV(g)$ も有界であり、$f$ は $g$ のピカードの例外値である臨界値を高々1つしか持てない。
• もし $AV(f\circ g)$ が有界であれば、補題2.10により $AV(f)$ も有界であることが示される。