[論文レビュー] On images of sofic systems

Wolfgang Krieger|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、位相的転送性をもつso픽系から他のso픽系への準同型写像の存在、および位相的混合性をもつso픽系から低エントロピーのso픽系への上への準同型写像の存在について、必要十分条件を確立する。記号的力学系と文法的マグマを用いて、文脈クラスと補助写像を介した明示的な符号化写像を構成し、正則言語理論に裏打ちされた有限状態構成により、存在問題の決定可能性を証明する。

ABSTRACT

Let $Σ$ and $\barΣ$ be finite alphabets. For topologically transitive sofic systems $ X\subset Σ^{\Bbb Z}$ and $\widetilde X\subset \widetildeΣ^{\Bbb Z}$ we give a necessary and sufficient condition for the existence of a homomorphism from $X$ to $\widetilde X$. For topologically mixing sofic systems $X \subset Σ^{\Bbb Z}$ and $\widetilde X\subset \widetildeΣ^{\Bbb Z}$, such that the topological entropy of $\widetilde X$ is less than the topological entropy of $X$, we give a necessary and sufficient condition for the existence of a homomorphism of $X$ onto $\widetilde X$.

研究の動機と目的

• 位相的転送性をもつso픽系 X から他のso픽系 X̃ への準同型写像の存在に関する必要十分条件を特定すること。
• 位相的混合性をもつso픽系 X から、位相的エントロピーが低い他のso픽系 X̃ への上への準同型写像の存在に関する条件を確立すること。
• これらの存在条件が、有限状態構成と正則言語の性質を用いて決定可能であることを証明すること。
• 一般の準同型写像における決定可能性結果を、位相的混合性をもつ場合の上への準同型写像へと拡張すること。

提案手法

• 論文は、サブシフトの文法的マグマ、特に語の文脈クラスを用いて、代数的構造による準同型写像の特徴づけを行う。
• 周期的でない事象を分離するために、補助写像とコンパクト開集合を導入する。
• 符号化窓の構築には、同期化語とその文脈クラスに依存する。
• 上への準同型写像の場合は、制御された繰返しとシフト不変符号化を用いて十分に長い周期的イベントを生成する。
• 符号化プロセスは、写像 Θ⁻、Θ⁺、Θ による文脈クラスの像を用いたブロック単位で定義され、床関数による時間シフトと長さ調整が行われる。
• 決定可能性は、問題を有限状態オートマトンと正則言語の性質に還元することで確立され、形式言語理論における既知の決定可能性結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的転送性をもつso픽系 X から他のso픽系 X̃ への準同型写像が存在する条件は何か？
• RQ2 位相的混合性をもつso픽系 X から、位相的エントロピーが低いso픽系 X̃ への上への準同型写像が存在する条件は何か？
• RQ3 このような準同型写像の存在は、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ4 周期的点のデータと文脈クラスを用いて、明示的な準同型写像を構成する方法は何か？
• RQ5 so픽系のどのような構造的性質が、上への因子写像の存在を保証するか？

主な発見

• 位相的転送性をもつso픽系 X から他のso픽系 X̃ への準同型写像の存在に関する必要十分条件は、文脈クラスおよびそれらの文法的マグマの整合性に基づく。
• 位相的エントロピー h(X) > h(X̃) をみたす位相的混合性をもつso픽系に対して、上への準同型写像の存在に関する必要十分条件が、文脈クラスおよび周期的点の整合性に基づいて与えられる。
• 準同型写像および上への準同型写像の両方の存在条件は、正則言語上の有限状態計算に還元されるため、決定可能である。
• 準同型写像の構成は、文脈クラスの像と補助写像を用いた符号化窓を通じて達成される。
• この方法により、連続性、シフト可換性、およびすべての点（周期的および非周期的を含む）に対して一意に定義された写像が保証される。
• 上への準同型写像の決定可能性は、一般の準同型写像のケースから拡張可能であり、このような写像のアルゴリズム的構成可能性が裏付けられる。