[論文レビュー] On $p$-adic Gibbs Measures for Hard Core Model on a Cayley Tree

Daniel Gandolfo, U. A. Rozikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

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ひとこと要約

本稿は、カイリー木上のハードコアモデルに対する $p$-進ギブス測度を調査し、非アーベル的枠組みを導入することで、古典的実数値モデルとは顕著な対比を示す。$p$-進分割ギブス測度が存在するのは $p$ が $2^k - 1$ を割り切る場合に限られ、$k=2$ の場合、その測度は $p=3$ のときにのみ存在し、$λ$ が半径 $1/27$ の $p$-進球内にあるとき、2つの異なる周期的で並進不変でない測度が得られる。有界性は $p \neq 3$ のときに限り成立する。これらの結果は、非アーベル的ノルムと $p$-進指数関数の定義域が制限されていることに起因する、$p$-進と実ギブス測度の根本的な構造的差異を強調している。

ABSTRACT

In this paper we consider a nearest-neighbor $p$-adic hard core (HC) model, with fugacity $λ$, on a homogeneous Cayley tree of order $k$ (with $k + 1$ neighbors). We focus on $p$-adic Gibbs measures for the HC model, in particular on $p$-adic "splitting" Gibbs measures generating a $p$-adic Markov chain along each path on the tree. We show that the $p$-adic HC model is completely different from real HC model: For a fixed $k$ we prove that the $p$-adic HC model may have a splitting Gibbs measure only if $p$ divides $2^k-1$. Moreover if $p$ divides $2^k-1$ but does not divide $k+2$ then there exists unique translational invariant $p$-adic Gibbs measure. We also study $p$-adic periodic splitting Gibbs measures and show that the above model admits only translational invariant and periodic with period two (chess-board) Gibbs measures. For $p\geq 7$ (resp. $p=2,3,5$) we give necessary and sufficient (resp. necessary) conditions for the existence of a periodic $p$-adic measure. For k=2 a $p$-adic splitting Gibbs measures exists if and only if p=3, in this case we show that if $λ$ belongs to a $p$-adic ball of radius 1/27 then there are precisely two periodic (non translational invariant) $p$-adic Gibbs measures. We prove that a $p$-adic Gibbs measure is bounded if and only if $p e 3$.

研究の動機と目的

• カイリー木上のハードコアモデルに対する $p$-進ギブス測度の存在と構造を調査すること。これは、これまで実数上でしか研究されていなかったモデルである。
• 特に並進不変性と周期性に注目し、$p$-進分割ギブス測度が存在する条件を同定すること。
• 非アーベル的性質に起因する、$p$-進ギブス測度とその古典的実数対応物との根本的差異を明らかにすること。
• $p$-進ギブス測度の有界性を分析し、それが有界または無限大となる正確な条件を同定すること。

提案手法

• 非アーベル的 $p$-進ノルムと強い三角不等式を用いて、測度の振る舞いを $p$-進解析によって分析する。
• ハードコア相互作用とカイリー木の構造に基づき、$p$-進ギブス測度の関数方程式を定式化する。
• 分割ギブス測度の存在は、$p$ と $k$ に関する数論的条件、特に $p \mid 2^k - 1$ を通じて分析する。
• 周期的ギブス測度は周期性条件（例：周期2、チェス盤型）を課すことにより、$\mathbb{Q}_p$ 上の連立方程式の解法に帰着する。
• $p$-進ノルム $|\mu_n|_p$ の振る舞いを通じて、測度の有界性を $p$-進ノルムの観点から分析する。
• $p$-進指数関数の性質を活用する。$p$-進指数関数は $|x|_p \leq 1/p$ の範囲でのみ定義され、$|\exp_p(x)|_p = 1$ となるノルムの性質を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カイリー木上のハードコアモデルに対して、$p$-進分割ギブス測度が存在するための $p$ と $k$ の条件は何か？
• RQ2 $p$-進ギブス測度の構造は何か？特に、並進不変性に限られるのか、それとも周期的測度（例：周期2）も存在するのか？
• RQ3 $k=2$ の場合、$p$ と $\lambda$ のどの値が、並進不変でない $p$-進ギブス測度の存在を許容するか？また、そのような測度はいくつ存在するか？
• RQ4 $p$-進ギブス測度が有界であるのはいつか？これは $p$ に依存するか？
• RQ5 $p$-進ギブス測度の構造的性質は、実ギブス測度とはどのように根本的に異なるか？

主な発見

• カイリー木の次数 $k$ に対して、$p$-進分割ギブス測度が存在するのは $p$ が $2^k - 1$ を割り切る場合に限られる。
• $p \mid 2^k - 1$ かつ $p \nmid k+2$ ならば、一意的な並進不変 $p$-進ギブス測度が存在する。
• モデルは、並進不変および周期2（チェス盤型）の周期的 $p$-進ギブス測度のみを許容する。
• $k=2$ の場合、$p$-進分割ギブス測度が存在するのは $p=3$ のときであり、このとき $λ$ が半径 $1/27$ の $p$-進球内にある場合、正確に2つの周期的（並進不変でない）ギブス測度が存在する。
• $p$-進ギブス測度が有界であるのは $p \neq 3$ のときに限られ、$p=3$ のときは無限大である。
• $p \geq 7$ に対して周期的 $p$-進ギブス測度が存在するためには $p \mid 2^k - 1$ かつ $p \mid k - 2$ が必要であるが、$p=2,3,5$ の場合、条件は必要ではあるが十分ではない可能性がある。