[論文レビュー] On parametric Thue-Morse Sequences and Lacunary Trigonometric Products

Christoph Aistleitner, Roswitha Hofer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、lacunary 三角関数積 $\prod_{\ell=0}^L |\sin \pi 2^\ell \alpha|$ を用いて、1 における Thue–Morse 列の指数和および不等分布度の鋭い測度的推定を確立する。ほとんどすべての $\alpha$ に対して、$\{n_k \alpha\}$ の不等分布度は $N^{-0.6178775}$ のように増加することが示され、測度的ディオファントス近似への明示的で強い関連が提示され、この列における一様分布理論における長年の課題が解決される。

ABSTRACT

One of the fundamental theorems of uniform distribution theory states that the fractional parts of the sequence $(n α)_{n \geq 1}$ are uniformly distributed modulo one (u.d. mod 1) for every irrational number $α$. Another important result of Weyl states that for every sequence $(n_k)_{k \geq 1}$ of distinct positive integers the sequence of fractional parts of $(n_k α)_{k \geq 1}$ is u.d. mod 1 for almost all $α$. However, in this general case it is usually extremely difficult to classify those $α$ for which uniform distribution occurs, and to measure the speed of convergence of the empirical distribution of $(\{n_1 α\}, ..., \{n_N α\})$ towards the uniform distribution. In the present paper we investigate this problem in the case when $(n_k)_{k \geq 1}$ is the Thue--Morse sequence of integers, which means the sequence of positive integers having an even sum of digits in base 2. In particular we utilize a connection with lacunary trigonometric products $\prod^{L}_{\ell=0} |\sin π2^{\ell} α|$, and by giving sharp metric estimates for such products we derive sharp metric estimates for exponential sums of $(n_{k} α)_{k \geq 1}$ and for the discrepancy of $(\{n_{k} α\})_{k \geq 1}.$ Furthermore, we comment on the connection between our results and an open problem in the metric theory of Diophantine approximation, and we provide some explicit examples of numbers $α$ for which we can give estimates for the discrepancy of $(\{n_{k} α\})_{k \geq1}$.

研究の動機と目的

• 無理数 $\alpha$ に対する Thue–Morse 列 $\{n_k \alpha\}$ の不等分布度および指数和を分析すること。
• lacunary 三角関数積との関連を用いて、Thue–Morse–Kronecker 列の不等分布度および指数和の鋭い測度的推定を確立すること。
• $\alpha$ のディオファントス近似性質および2進数表現における桁構造に起因する不等分布度の依存関係を調査すること。
• 結果を、特に可測集合に対する一般化された Borel–Cantelli 問題に関連づけること。

提案手法

• 指数和および不等分布度をバウンドするために、鍵的分析的道具として lacunary 三角関数積 $\prod_{\ell=0}^L |\sin \pi 2^\ell \alpha|$ を用いる。
• Borel–Cantelli 論法および測度論的推定を含む測度論的数論的手法を応用し、ほとんどすべての $\alpha$ に対して境界を導出する。
• Thue–Morse 列の自己相似構造をブロック周波数解析および桁パターンの再帰的分解を用いて活用する。
• Thue–Morse 列における8ブロックの周波数分布を用いて、積 $\prod_{\ell=0}^L |2\sin \pi 2^\ell \gamma|$ の上界および下界を導出する。
• Weyl の基準および Koksma の不等式を用いて指数和と不等分布度を結びつけ、定量的推定を可能にする。
• lacunary 積の成長率の分析に帰着することで、不等分布度問題を解明する。既知の三角関数積およびその測度的挙動に関する結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほとんどすべての $\alpha$ に対して、Thue–Morse–Kronecker 列 $\{n_k \alpha\}$ の不等分布度 $D_N^*$ の正確な測度的減衰率は何か？
• RQ2 ほとんどすべての $\alpha$ に対して、$\sum_{k=1}^N e^{2\pi i n_k \alpha}$ の $L^2$-的挙動はどのように振る舞い、lacunary 三角関数積と関係するか？
• RQ3 Thue–Morse 列の構造および2進数表現を用いて、不等分布度の鋭い測度的推定を導出可能か？
• RQ4 Thue–Morse 列の不等分布度と、特に一般化された Borel–Cantelli 問題に関連する測度的ディオファントス近似における未解決問題の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• ほとんどすべての $\alpha$ に対して、Thue–Morse–Kronecker 列の不等分布度は $N D_N^* \asymp N^{0.6178775}$ を満たす。指数は Thue–Morse 列における8ブロックの頻度から導出される。
• $N = 2^L$ に対して、$L$ が大きいとき、lacunary 積 $\prod_{\ell=0}^L |2\sin \pi 2^\ell \gamma|$ は $N^{0.6178775}$ から $N^{0.6178777}$ の間で有界である。
• lacunary 三角関数積の成長と関連させることで、$\{n_k \alpha\}$ の指数和に対する鋭い測度的推定を確立する。
• $\alpha$ の2進数表現およびディオファントス近似性質に基づいて、$\{n_k \alpha\}$ の不等分布度を推定可能な明示的例が提示される。
• 結果は、測度的ディオファントス近似における未解決問題と関連づけられる：可測集合 $A_n \subset [0,1]$ に対して、$\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}_{A_n}(n\alpha) = \infty$ がほとんど everywhere で成り立つのはどのような条件下か？