[論文レビュー] On Shapiro's lethargy theorem and some applications

Asuman Güven Aksoy, J. M. Almira|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非減少距離を備えたF空間へシャピロの劣化定理を拡張し、弱い条件下でも最良近似誤差および作用素収束が任意に遅く衰えることを証明する。作用素列が点単位で全射的または範囲豊富な作用素に収束する場合、その収束はほとんど任意に遅くならざるを得ず、近似理論におけるs-数、エントロピー数、収束速度への応用を含む。

ABSTRACT

Shapiro's lethargy theorem states that if {A_n} is any non-trivial linear approximation scheme on a Banach space X, then the sequences of errors of best approximation E(x,A_n) = \inf_{a \in A_n} ||x - a_n||_X decay almost arbitrarily slowly. Recently, Almira and Oikhberg investigated this kind of result for general approximation schemes in the quasi-Banach setting. In this paper, we consider the same question for F-spaces with non decreasing metric d. We also provide applications to the rate of decay of s-numbers, entropy numbers, and slow convergence of sequences of operators.

研究の動機と目的

• バナッハ空間から非減少距離を備えたF空間へシャピロの劣化定理を一般化すること。
• 準バナッハ空間およびF空間の文脈における最良近似誤差の遅い減衰を調査すること。
• 作用素列が極限作用素に点単位で収束する場合に、それが任意に遅く行われることを保証する条件を確立すること。
• 得られた結果をs-数、エントロピー数、近似作用素の収束速度に応用すること。
• 関数解析における近似空間および作用素収束への影響を検討すること。

提案手法

• 移動不変距離および入れ子・閉・稠密な部分集合のための公理(A1)-(A3)を用いて、F空間における近似スキームを形式化する。
• 非増加ゼロ列$\{\varepsilon_n\}$の概念を用いて、近似誤差の任意に遅い減衰を特徴付ける。
• 一般化された劣化定理を、$T_n(X) \subseteq A_n$を満たす作用素列$T_n$が点単位で$T$に収束する場合に適用する。
• もし$T(X) = Y$または$T(X)$が無限次元閉部分空間を含むならば、$T_n \to T$の収束はほとんど任意に遅いことを証明する。
• アルミラとオイクベルグによる準バナッハ空間に関する結果を用い、それらを定理4.5によりF空間へ拡張する。
• ローレンツ数列空間および近似空間$A_p^r(X, \{A_n\})$を用いて、滑らかさと減衰速度の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャピロの劣化定理は、非減少距離を備えたF空間へバナッハ空間から拡張可能か？
• RQ2 作用素列$T_n$が点単位で$T$に収束する場合、どのような条件下でそれが任意に遅く収束するか？
• RQ3 極限作用素$T$の範囲は、$T_n$の収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 一般化された劣化定理はs-数およびエントロピー数にどのような意味を持つか？
• RQ5 この理論は、グリーディアルゴリズムのような非線形近似プロセスへ応用可能か？

主な発見

• F空間において、$\{A_n\}$がシャピロの定理を満たす近似スキームであれば、最良近似誤差$E(x, A_n)$はほとんど任意に遅く減衰する。
• もし$T_n \to T$が点単位で収束し、$T(X) = Y$であれば、$T_n \to T$はほとんど任意に遅く収束し、任意の指定された速度に対しても、その収束が可能である。
• $T(X)$が無限次元閉部分空間$Z$を含み、$\{A_n\}$が$Z$上でシャピロの定理を満たすならば、$T_n \to T$の収束は$Z$に関してほとんど任意に遅い。
• 線形作用素$T_n$について、$\overline{T_n(X)} \neq Y$であり、$T(X)$が$Y$の有限余次元部分空間を含むならば、収束はほとんど任意に遅い。
• 古典的近似作用素（例えば、フェイジャー作用素やランダウ作用素）に対しても結果は適用可能であり、それらの収束は$C[a,b]$の任意の無限次元閉部分空間に関して任意に遅い。
• 最小系および無条件基底に関するグリーディ近似へも理論は拡張可能であり、恒等作用素への収束はほとんど任意に遅い。