[論文レビュー] On shortened and punctured cyclic codes

Arti D. Yardi, Ruud Pellikaan|arXiv (Cornell University)|May 27, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体上の任意の線形ブロック符号が、循環符号に繰り返しパunctionおよび/または短縮操作を適用することで構成可能であることを証明している。主な貢献は、循環符号が、すべての線形符号がそれらから導出可能であるという、漸近的に良い性質を満たすために必要な条件を満たしていることの確立であり、これにより循環符号自身が漸近的に良い族を形成する可能性が残されている。

ABSTRACT

The problem of identifying whether the family of cyclic codes is asymptotically good or not is a long-standing open problem in the field of coding theory. It is known in the literature that some families of cyclic codes such as BCH codes and Reed-Solomon codes are asymptotically bad, however in general the answer to this question is not known. A recent result by Nelson and Van Zwam shows that, all linear codes can be obtained by a sequence of puncturing and/or shortening of a collection of asymptotically good codes~\cite{Nelson_2015}. In this paper, we prove that any linear code can be obtained by a sequence of puncturing and/or shortening of some cyclic code. Therefore the result that all codes can be obtained by shortening and/or puncturing cyclic codes leaves the possibility open that cyclic codes are asymptotically good.

研究の動機と目的

• 循環符号がパunctionおよび短縮操作を用いてすべての線形符号を構成するための普遍的ソースとして機能できるかどうかを調査すること。
• 符号理論における長年の未解決問題である、循環符号の族が漸近的に良いかどうかを特定すること。
• NelsonとVan Zwamが漸近的に良い符号族のための必要条件として特定した条件が、循環符号を満たしていることを確立すること。
• 任意の線形符号が、パunctionおよび/または短縮操作の系列を用いて循環符号から得られることを構成的証明すること。

提案手法

• 長さ $ n $ の循環符号の生成行列を、繰り返しパターンを持つ構造化されたブロック行列表現を用いて構築する。
• 生成行列内の不要な行を除去するために、特定の座標位置に対して短縮操作を適用する。
• 残りの列に対してパunction操作を適用し、左端のブロックを削除することで、行列を目的の形に短縮する。
• 最終的に得られる行列の行空間が、ターゲット線形符号の行空間と一致することを活用する。
• 循環符号の構造を活かし、短縮およびパunctionのための位置を慎重に選択することで、任意の線形符号を埋め込む。
• すべての操作を経た最終の生成行列が、ターゲット符号 $ C $ の生成行列と一致することを示し、構成可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての線形ブロック符号が、循環符号にパunctionおよび/または短縮操作を適用することで得られるか？
• RQ2 循環符号からこれらの操作を用いた構成系列が存在することは、循環符号が漸近的に良い可能性を示唆するか？
• RQ3 NelsonとVan Zwamによる漸近的に良い符号族に関する結果が、循環符号の構造とどのように関係するか？
• RQ4 循環符号がパunctionおよび短縮操作を用いてすべての線形符号を生成できるという構造的性質は何か？
• RQ5 すべての線形符号がこれらの操作を用いて導出可能であるという事実を踏まえ、循環符号の族は漸近的に良いか？

主な発見

• 任意の $\mathbb{F}_q$ 上の線形ブロック符号は、ある循環符号にパunctionおよび/または短縮操作を適用することで得られる。
• 構成プロセスは、ターゲット符号の生成行列を、ブロックの繰り返しと戦略的なゼロパディングを用いて、より大きな循環符号構造に埋め込むことにある。
• 短縮操作は生成行列内の途中の行を除去するために、特定の間隔で適用され、必要なコドワードのみを保持する。
• パunctionは短縮の後に適用され、左端の冗長な列を削除することで、行列をターゲット符号の生成行列の正確な形に短縮する。
• すべての操作を経た最終の生成行列は、ターゲット符号の元の生成行列と一致し、構成の正しさを確認する。
• この結果は、循環符号が漸近的良さのための必要条件を満たしていることを示唆し、それらが漸近的に良い族を形成する可能性が残されている。