[論文レビュー] On stochastic Euler-Poincaré equations driven by pseudo-differential/multiplicative noise

Hao Tang|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2020

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、擬微分作用素および乗法的ノイズによって駆動される確率的Euler-Poincaré方程式について、局所的解の存在、爆発基準、および大域的解の存在を確立する。擬微分作用素に特有の新しいキャンセレーション性質を導入し、エネルギー推定を可能にする。初期データに対する連続的依存性およびノイズ摂動下での停止時刻の安定性を証明し、輸送ノイズに限らないより広いクラスの確率的流体モデルへと結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we focus on the stochastic Euler-Poincaré equations with pseudo-differential/multiplicative noise. We first establish two new cancellation properties on pseudo-differential operators, which play a key role in energy estimate. Then, we obtain results on local solution, blow-up criterion and global existence. The interplay between stability on exiting times and continuous dependence of solution on initial data are also studied for the multiplicative noise case.

研究の動機と目的

• 輸送ノイズを超えて一般の擬微分作用素を含む確率的流体方程式の解析を拡張すること。
• 乗法的ノイズを伴う確率的Euler-Poincaré系の局所的および大域的解の存在を確立すること。
• 乗法的ノイズの下で、停止時刻の安定性と初期データへの連続的依存性の相関関係を分析すること。
• 確率的設定におけるエネルギー推定に不可欠な、擬微分作用素のための新しいキャンセレーション性質を構築すること。

提案手法

• エネルギー推定における特異性を制御するための、擬微分作用素に対する2つの新しいキャンセレーション恒等式を導出する。
• 切断近似スキームを適用して局所解を構成し、Sobolev空間における事前推定を導出する。
• 伊藤およびストラトニッチの微積分を用いて確率的項を扱い、解析のための伊藤形に方程式を変換する。
• 非線形性を制御するため、Sobolev空間における擬微分作用素の交換子推定および作用素ノルムの境界を用いる。
• 近似および安定性解析における誤差項を制御するため、作用素記号の有界性および可換性条件を活用する。
• Lemma A.7およびA.8を用いて、擬微分作用素と乗法作用素を含む交換子を評価し、エネルギー推定における正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的流体方程式におけるエネルギー推定を制御するため、擬微分作用素のキャンセレーション性質をどのように確立できるか？
• RQ2 乗法的擬微分ノイズを伴う確率的Euler-Poincaré方程式が、どのような条件下で局所的または大域的解をもつのか？
• RQ3 ノイズ構造は、解の初期データへの連続的依存性にどのように影響するか？
• RQ4 乗法的ノイズの下で、停止時刻の安定性と解の正則性の関係は何か？

主な発見

• エネルギー成長のバネを支えるために不可欠な、擬微分作用素のための2つの新しいキャンセレーション性質が導出された。
• 乗法的擬微分ノイズを伴う確率的Euler-Poincaré方程式について、局所的解の存在および爆発基準が確立された。
• ノイズおよび初期データに適切な条件下で大域的解が証明され、決定的および輸送ノイズの場合の既知の結果が拡張された。
• 初期データへの連続的依存性が確立され、摂動下での停止時刻の安定性も示された。
• 伊藤の公式におけるノイズ由来の特異性が、作用素交換子推定および記号の正則性によって制御可能であることが分析で確認された。
• 非局所的および非輸送項を含む、より広いクラスの擬微分ノイズ作用素を許容するように、従来の輸送ノイズに関する結果が一般化された。