[論文レビュー] On the analytic expression that must be given to the gravitational tensor in Einstein's theory

Tullio Levi-Cività|ArXiv.org|Jun 2, 1999

Relativity and Gravitational Theory被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、アインシュタインの一般相対性理論における真の重力エネルギーテンソルの、リーマン幾何学的・共変的整合性を持つ厳密な導出を提示する。擬テンソルを排除し、共変的かつ幾何学的に整合性のある定式化を採用する。エネルギー保存則と適切なエネルギー伝播を保証するには、特定の解析的表現の重力テンソルのみが有効であることが示され、歴史的に軽視されてきたが論理的に整合性のあるアインシュタインの擬テンソル的アプローチの代替案を提供する。

ABSTRACT

Foreword. While most textbooks of general relativity and research articles discuss at length the relative merits of the pseudo tensors proposed by Einstein and by other authors for representing the energy of the gravitational field, Levi Civita's definition of a true gravitational energy tensor has succumbed to the authority of Einstein and is nearly forgotten. It seems however worthy of a careful re-examination, due to its unquestionable logical soundness and to the unique manner of propagation for gravitational energy that it entails.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における重力テンソルを、擬テンソルに依存しない数学的に厳密で共変的な定式化で再表現すること。
• エネルギー保存則を満たし、座標変換に対して適切に変換される真の重力エネルギーテンソルを定義するという、長年の課題に取り組むこと。
• 1917年に発表されたリーマン自身の元来の導出を再活性化し、論理的整合性と物理的整合性を備えながらも、歴史的に軽視されてきたこの導出を明確にすること。
• 一般相対性理論において、エネルギーの伝播と保存が正しく保証されるには、重力テンソルの特定の解析的形態のみが有効であることを示すこと。

提案手法

• 一般共変性の原理と、エネルギー運動量保存則が共変発散として表現されることの要請に基づき、重力テンソルを導出する。
• 微分幾何学の形式的枠組みを用いて、一般座標変換に対して真のテンソルとして変換する重力エネルギーのテンソリアル表現を構築する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用の構造とその変分を分析し、重力エネルギー運動量密度の正しいテンソリアル形を同定する。
• 得られたテンソルをアインシュタインの擬テンソルおよび他の代替案と比較し、リーマンの形式のみが厳密なテンソル変換則を満たしていることを示す。
• エネルギー運動量複合体の形式的枠組みを用いて、座標系の選択に依存しない保存電流を導出する。
• 提案されたテンソルが、運動方程式と整合的で、重力エネルギー伝播のための一意的かつ明確な記述を提供することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における重力テンソルのどの解析的表現が、真のテンソル的性質とエネルギー運動量保存則を満たすか？
• RQ2 アインシュタインの擬テンソルはなぜ真の重力エネルギーテンソルを表さないのか。その失敗の結果として生じる影響は何か？
• RQ3 場の運動方程式から、一貫性があり座標に依存しない重力エネルギーの定式化をどのように導出できるか？
• RQ4 物理的整合性と数学的厳密性の観点から、リーマンのテンソリアル的アプローチは他のエネルギー運動量定式化とどのように異なるか？
• RQ5 曲がった時空において、明確なエネルギー伝播と保存を可能にする真の重力エネルギーテンソルは存在するか？

主な発見

• リーマンの定式化により、一般座標変換に対して正しく変換する真のテンソリアルな重力エネルギー表現が得られ、アインシュタインの擬テンソルとは対照的である。
• 導出されたテンソルは共変発散の条件を満たしており、幾何学的に整合的な方法でエネルギー運動量の局所的保存が保証される。
• 重力エネルギー伝播の記述が座標依存性なく一意的かつ明確になるのは、この特定の解析的形態の重力テンソルに限られる。
• この方法により、一般相対性理論におけるエネルギー局在化の長年の問題が、物理的に意味を持つテンソリアルなエネルギー運動量密度を提供することで解決される。
• 擬テンソルに内在する曖昧さや非テンソル的性質を回避する点で、この定式化は擬テンソルよりも論理的に優れていることが示された。
• 本論文は、アインシュタインが当初採用した擬テンソルが唯一の可能解や物理的に整合性のある解ではないことを確立し、リーマンの代替案が数学的に厳密かつ物理的に整合的であることを示した。