[論文レビュー] On the Canonical Form of Scale Mixtures of Skew-Normal Distributions

Antonella Capitanio|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Statistical Distribution Estimation and ApplicationsMathematics参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、多変量スケール混合スケュー正規分布の標準形を導入し、アフィン不変座標表現を可能にするとともに、多変量歪度および尖度の計算を簡略化する。主な貢献は、Mardiaの指標の一般式の導出およびモード計算における次元削減手法の開発であり、特にスケュー正規分布およびスケューt分布に対して、標準形への変換を用いた明示的解が得られる。

ABSTRACT

The canonical form of scale mixtures of multivariate skew-normal distribution is defined, emphasizing its role in summarizing some key properties of this class of distributions. It is also shown that the canonical form corresponds to an affine invariant co-ordinate system as defined in Tyler \emph{et} al. (2009), and a method for obtaining the linear transform that converts a scale mixture of multivariate skew-normal distribution into a canonical form is presented. Related results, where the particular case of the multivariate skew $t$ distribution is considered in greater detail, are the general expression of the Mardia indices of multivariate skewness and kurtosis and the reduction of dimensionality in calculating the mode.

研究の動機と目的

• スケール混合多変量スケュー正規分布の標準形を定義し、分布的性質の代表的表現を簡素化すること。
• この標準形がアフィン不変座標系に対応することを確立し、多変量データ解析における有用性を高めること。
• スケール混合スケュー正規分布の全クラスに適用可能な、Mardiaの多変量歪度および尖度の一般式を導出すること。
• 特にスケューt分布に対して、モード計算における次元削減のための手法を提供すること。
• 多変量スケューt分布のモードが一意に定まり、閉形式で表現可能であることを形式的に証明すること。

提案手法

• スケュー正規方向を最初の座標軸に一致させるアフィン変換を用いて、標準形を定義し、形状パラメータを1つの非ゼロ成分に簡略化する。
• 標準化された$ Z $のバージョン$ \tilde{Z} $を用いて変換$ Z^* = C^{-1} \tilde{Z} $を適用し、$ \alpha^* = (\alpha_*, 0, \dots, 0)^\top $を達成する。
• 密度関数の勾配をゼロに設定することで標準形のモードを導出し、対称性および単調性の議論により、方程式系を解く。
• スケューt分布に対して、変数$ w(y) $を含むスチューデントt分布のCDF $ T_1 $およびPDF $ t_1 $を含むモード方程式を解き、一意のモード$ (y_0^*, 0, \dots, 0)^\top $を求める。
• 混合変数の密度$ f_S(s) $を含む1次元積分方程式に帰着することで、任意のスケール混合分布へのモード表現を一般化する。
• 線形変換に対して標準形が不変であることを示すことで、アフィン不変性を確立し、Tyler et al. (2009) と整合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール混合多変量スケュー正規分布に対して、形状および尾部挙動の分析を簡素化する標準形をどのように定義できるか？
• RQ2 標準形がアフィン不変座標系に対応するか。もしそうならば、どのように構築できるか？
• RQ3 この分布クラスにおけるMardiaの多変量歪度および尖度の一般式は何か？
• RQ4 多変量スケューt分布のモードは一意に特定可能であり、閉形式で表現可能か？
• RQ5 スケール混合スケュー正規分布のモード計算において、次元削減はどの程度可能か？

主な発見

• スケール混合多変量スケュー正規分布の標準形は、最初の成分以外がすべて対称となるように定義され、形状解析が簡素化される。
• 標準形はTyler et al. (2009) で定義されたアフィン不変座標系に対応し、多変量データ解析における耐性を高める。
• スケール混合スケュー正規分布の全クラスに適用可能な、Mardiaの多変量歪度および尖度の一般閉形式式が導出された。
• 多変量スケューt分布の唯一のモードは$ M_0 = \xi + \frac{y_0^*}{\delta_*} \omega \delta $として示され、ここで$ y_0^* $はスチューデントt分布のCDFおよびPDFを含む特定方程式の解である。
• 標準形のモードは常に$ (y_0^*, 0, \dots, 0)^\top $の形をとるため、モード計算における次元削減が可能である。
• スケューt分布のモードの存在および一意性は、関係する関数の単調性を示すことにより証明され、モード方程式が一意の非負の解を持つことが示された。