[論文レビュー] On the Construction and Malliavin Differentiability of Levy Noise Driven SDEs with Singular Coefficients

Sven Haadem, Frank Proske|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特異な勾配係数（有界で Hölder 継続的）をもつ、切断された $\alpha$-安定 Lévy プロセスで駆動される確率微分方程式（SDE）のための、一意な強い解を構成する、Malliavin 微積分に基づく新規な手法を提案する。この手法は経路ごとの一意性に依存せず、近似とコンパクト性を用いて直接的に解を構成する。$\alpha \in (1,2)$ および $\beta \in (0,1)$ に対して $\alpha + \beta > 2$ の条件下で、解の存在および Malliavin 微分可能性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new technique to construct unique strong solutions of SDEs with singular coefficients driven by certain Levy processes. Our method which is based on Malliavin calculus does not rely on a pathwise uniqueness argument. Furthermore, the approach, which provides a direct construction principle, grants the additional insight that the obtained solutions are Malliavin differentiable.

研究の動機と目的

• 特異（Hölder 継続的）な勾配係数をもつ SDE の強い解を、経路ごとの一意性に依存せずに直接構成する方法を開発すること。
• ウィーナー過程の場合に既に知られている Malliavin 微積分の技術を、純ジャンプ型 Lévy プロセス、特に切断された $\alpha$-安定プロセスに拡張すること。
• 構成手法の副産物として、解の Malliavin 微分可能性を確立すること。
• Lévy 指数 $\alpha$ と勾配の Hölder 指数 $\beta$ に対して、臨界的正則性条件 $\alpha + \beta > 2$ の下で、強い解の存在および一意性を証明すること。
• 連続関数 $f_i$ および Hölder 継続的関数 $b_i$ をもつ $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ の形をとる時不変勾配係数への一般化を図ること。

提案手法

• 特異な勾配係数 $b$ を滑らかな関数列 $b_n$ で近似し、既に一意な強い解 $X_t^n$ をもつ SDE の列を構成する。
• Lévy プロセス $L_t$ に関連する後向き Kolmogorov 方程式の解を用いて、勾配積分 $\int_0^t b_n(s,X_s^n)ds$ を再定式化し、正則性を向上させる。
• Lévy プロセスの二階可積分関数性に対する、Malliavin 微積分に基づく新しいコンパクト性基準を $X_t^n$ に適用し、収束する部分列を抽出する。
• $X_t^n$ が $L^2(\Omega)$ で極限 $X_t$ に収束することを証明し、この極限が元の SDE (1) を極限で満たすことを示す。
• 近似解の Malliavin 微分 $D_{\cdot,\cdot}X_t^n$ に対する一様有界性を証明し、[27] の収束結果を用いて、極限解 $X_t$ の Malliavin 微分可能性を確立する。
• 伊藤の等式と Kolmogorov 解の二階微分に関する推定を用いて、二つの解の差を制御し、Gronwall の補題を適用して、極限における経路ごとの一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路ごとの一意性や Yamada-Watanabe の原理に依存せずに、特異勾配係数をもつ SDE の強い解を直接構成する手法を開発できるか？
• RQ2 勾配係数 $b$ と Lévy プロセス $L_t$ の正則性条件が何であるとき、純ジャンプ型 Lévy プロセスで駆動される SDE に対して一意な強い解が存在するか？
• RQ3 このような SDE の解は Malliavin 微分可能であるか？ また、この性質は Malliavin 微積分におけるコンパクト性の議論を通じて確立可能か？
• RQ4 本手法は、連続関数 $f_i$ および $b_i \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$ をもつ $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ の形の時不変勾配係数へ拡張可能か？
• RQ5 Lévy 指数 $\alpha$ と勾配の Hölder 指数 $\beta$ に対して、解の存在および一意性を保証する臨界的正則性閾値 $\alpha + \beta > 2$ は何か？

主な発見

• $\alpha \in (1,2)$ および $\beta \in (0,1)$ である $d$ 次元の切断された $\alpha$-安定プロセスと、$b \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$ をもつ勾配係数に対して、十分に小さい $T > 0$ に対して $\alpha + \beta > 2$ の下で、一意な強い解が存在する。
• 構成された解 $X_t$ はすべての $t \in [0,T]$ に対して Malliavin 微分可能であり、これは近似解の Malliavin 微分に対する一様有界性から導かれる。
• 解の Malliavin 微分は、$k \geq 1$ および $0 < \tau \leq T$ に対して、$\mathbb{E}[\|D_{\cdot,\cdot}X^{n_k}(\tau)\|_{L^2((0\tau)) \otimes L^2(\nu)}^2] \leq K \exp(T M H_1(\|b\|_{C_b^\beta}^2))$ のような有界性を満たし、積分可能性が保証される。
• 証明は伊藤の等式と Gronwall の補題を用いて、二つの解の差が条件 $\alpha + \beta > 2$ の下で 0 に収束することを示し、一意性を確立する。
• 連続関数 $f_i$ および $b_i \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$ をもつ時不変勾配係数 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ に対しても、この手法は一般化可能であり、存在性および Malliavin 微分可能性が保たれる。
• 本手法は経路ごとの一意性を回避し、代わりに Malliavin 微積分に基づくコンパクト性の議論を用いることで、解の直接的構成を可能にする。