[論文レビュー] On The Hardness of Approximate and Exact (Bichromatic) Maximum Inner Product

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、双色最大内積問題（Max-IP）の近似および解法に対して、タイトな条件付き下界を確立する。SETHのもとでは、部分二次時間アルゴリズムが、$(d/\log n)^{\Omega(1)}$-乗法的または$\Omega(d)$-加法的近似を達成することは不可能であり、$2^{O(\log^* n)}$次元における整数上での正確なMax-IPに対しては$n^{2-o(1)}$時間の下界を示し、細粒度計算複雑性における重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we study the (Bichromatic) Maximum Inner Product Problem (Max-IP), in which we are given sets $A$ and $B$ of vectors, and the goal is to find $a \\in A$ and $b \\in B$ maximizing inner product $a \\cdot b$. Max-IP is very basic and serves as the base problem in the recent breakthrough of [Abboud et al., FOCS 2017] on hardness of approximation for polynomial-time problems. It is also used (implicitly) in the argument for hardness of exact $\\ell_2$-Furthest Pair (and other important problems in computational geometry) in poly-log-log dimensions in [Williams, SODA 2018]. We have three main results regarding this problem. First, we study the best multiplicative approximation ratio for Boolean Max-IP in sub-quadratic time. We show that, for Max-IP with two sets of $n$ vectors from $\\{0,1\\}^{d}$, there is an $n^{2 - \\Omega(1)}$ time $\\left( d/\\log n \ ight)^{\\Omega(1)}$-multiplicative-approximating algorithm, and we show this is conditionally optimal, as such a $\\left(d/\\log n\ ight)^{o(1)}$-approximating algorithm would refute SETH. Second, we achieve a similar characterization for the best additive approximation error to Boolean Max-IP. We show that, for Max-IP with two sets of $n$ vectors from $\\{0,1\\}^{d}$, there is an $n^{2 - \\Omega(1)}$ time $\\Omega(d)$-additive-approximating algorithm, and this is conditionally optimal, as such an $o(d)$-approximating algorithm would refute SETH [Rubinstein, STOC 2018]. Last, we revisit the hardness of solving Max-IP exactly for vectors with integer entries. We show that, under SETH, for Max-IP with sets of $n$ vectors from $\\mathbb{Z}^{d}$ for some $d = 2^{O(\\log^{*} n)}$, every exact algorithm requires $n^{2 - o(1)}$ time. With the reduction from [Williams, SODA 2018], it follows that $\\ell_2$-Furthest Pair and Bichromatic $\\ell_2$-Closest Pair in $2^{O(\\log^{*} n)}$ dimensions require $n^{2 - o(1)}$ time.

研究の動機と目的

• ブール型Max-IPに対する部分二次時間内での達成可能な最良乗法的近似比を特定すること。
• ブール型Max-IPに対する部分二次時間内での達成可能な最良加法的近似誤差を特定すること。
• 特に$2^{O(\log^* n)}$次元における整数ベクトル上でのMax-IPの正確な下界を確立すること。
• Max-IPの条件付き下界を通信複雑性クラス、特にSet-Disjointnessの$\mathsf{MA}$および$\mathsf{NP} \cdot \mathsf{UPP}$プロトコルに結びつけること。
• 中国剰余定理を用いた整数ベクトルへの正規化による、Orthogonal Vectorsから整数への次元削減技術の改善。

提案手法

• 複雑性$O(\sqrt{n \log n \log \log n})$の新しい$\mathsf{MA}$プロトコルを用いて、乗法的近似下界を導出する。
• 多項式法と確率的サンプリングを用いて、$\left(d/\log n\right)^{\Omega(1)}$-乗法的および$\Omega(d)$-加法的近似を達成する$n^{2-\Omega(1)}$-時間アルゴリズムを設計する。
• 中国剰余定理を用いた、$\{0,1\}^d$上の$\mathsf{OV}$から$\mathbb{Z}^\ell$への次元自己還元を新規に導入し、$\ell = 2^{O(\log^* d)}$を達成する。
• $\mathsf{OV}_{n,c\log n}$を、内積のしきい値を制御した$n^\varepsilon$個の$\mathsf{Max\text{-}IP}_{n,d}$インスタンスに還元することで、下界を確立する。
• 整数上での正確なMax-IPの下界と、Set-Disjointnessの$\mathsf{NP} \cdot \mathsf{UPP}$通信プロトコルとの間の関係を確立する。近似の場合に知られている関係と類似した構造を示す。
• $\mathsf{MA}$プロトコルの構造を用いて、複雑性$O(\sqrt{n \log n \log \log n})$の$\mathsf{MA}$通信プロトコルを構築し、従来の$O(\sqrt{n} \log n)$の境界を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分二次時間アルゴリズムが、ブール型Max-IPに対して$\left(d/\log n\right)^{o(1)}$-乗法的近似を達成できるか。
• RQ2 部分二次時間アルゴリズムが、ブール型Max-IPに対して$o(d)$-加法的近似を達成できるか。
• RQ3 $d = 2^{O(\log^* n)}$のとき、$\mathbb{Z}^d$上でのMax-IPを正確に解く時間計算量は何か。
• RQ4 Max-IPの下界と通信複雑性の関係を、$\mathsf{MA}$を越えて$\mathsf{NP} \cdot \mathsf{UPP}$プロトコルへ拡張できるか。
• RQ5 代数的技法（特に中国剰余定理）を用いた、$\mathsf{OV}$から整数Max-IPへの最適な次元削減は何か。

主な発見

• ブール型Max-IPに対して、$\left(d/\log n\right)^{\Omega(1)}$-乗法的近似を達成する$n^{2-\Omega(1)}$-時間アルゴリズムが存在し、これはSETHのもとで条件付き最適である。
• ブール型Max-IPに対して、$\Omega(d)$-加法的近似を達成する$n^{2-\Omega(1)}$-時間アルゴリズムが存在し、これもSETHのもとで条件付き最適である。
• SETHのもとでは、$d = 2^{O(\log^* n)}$の整数上でのMax-IPのすべての正確なアルゴリズムは、$n^{2-o(1)}$時間が必要である。
• $2^{O(\log^* n)}$次元における$\ell_2$-遠方ペアおよび双色$\ell_2$-最近接ペア問題は、SETHのもとで$n^{2-o(1)}$時間が必要である。
• Set-Disjointnessの新しい$\mathsf{MA}$プロトコルは、複雑性$O(\sqrt{n \log n \log \log n})$を達成し、従来の$O(\sqrt{n} \log n)$の境界を改善する。
• 本稿は、整数上での正確なMax-IPの下界と、Set-Disjointnessの$\mathsf{NP} \cdot \mathsf{UPP}$通信プロトコルとの間の新しい関係を確立し、近似の場合に知られている関係と類似した構造を示す。