[論文レビュー] On the Spin Dependence of Detection Times and the Nonmeasurability of Arrival Times

Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2023

Quantum Mechanics and ApplicationsPhysics and Astronomy参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ダスとデュールがドレイバー力学において提案したスピン依存の到着時刻分布が、正の自己随伴作用素測度（POVM）とは根本的になじまないため、測定不可能であることを示している。主な結果は、これらの分布が測定可能性に必要な条件を満たさないこと—具体的には、反対方向のスピンに対する確率の和が方向に依存すること—であり、これにより物理的測定装置が存在しえないことを示している。

ABSTRACT

According to a well-known principle of quantum physics, the statistics of the outcomes of any quantum experiment are governed by a Positive Operator-Valued Measure (POVM). In particular, for experiments designed to measure a specific physical quantity, like the time of a particle's first arrival at a surface, this principle establishes that if the probability distribution of that quantity does not arise from a POVM, no such experiment exists. Such is the case with the arrival time distributions proposed by Das and Dürr [arXiv:1802.07141], due to the nature of their spin dependence.

研究の動機と目的

• ダスとデュールがドレイバー力学を用いて計算したスピン1/2粒子の対称な量子系における到着時刻分布の測定可能性を評価すること。
• 文献[1]で導出されたスピン依存の到着時刻統計が、POVMに従う有効な量子測定プロセスから生じうるかどうかを特定すること。
• 軸対称性、逆変換対称性、ねじれ対称性が、測定可能な到着時刻分布の構造に与える影響を調査すること。
• POVMに適合しないこのような到着時刻分布の近似測定における最小誤差を定量化すること。
• 文献[1]における仮定、すなわち検出器がわずかな摂動でこれらの到着時刻を測定可能であるという仮定を検証すること。

提案手法

• スピン依存の結果統計がPOVMから生じるための必要条件を導出する：反対方向のスピンに対する確率の和は、方向に依存してはならない。
• この条件を文献[1]の到着時刻分布に適用し、軸対称性および$\mathscr{P}_{\uparrow} = \mathscr{P}_{\downarrow}$の下で、測定可能性のためには$\mathscr{P}_{\uparrow} = \mathscr{P}_{\rightarrow}$が成立しなければならないことを示す。
• 全 Variation 範囲を用いて、近似POVMの誤差の下界を定義する：$\Delta/4$、ここで$\Delta = \sup_{{\bf n},{\bf m}}\| (\mathscr{P}_{\bf n}+\mathscr{P}_{\bf -n}) - (\mathscr{P}_{\bf m}+\mathscr{P}_{\bf -m}} \|$.
• 特に逆変換対称性（$\mathscr{P}_{\bf n} = \mathscr{P}_{\bf -n}$）およびねじれ対称性（$P_{\uparrow} = P_{\downarrow}$）といった追加の対称性が、測定可能な統計の構造に与える影響を分析する。
• 軸対称性およびねじれ対称性の下で、これらの対称性を満たすいかなる検出器も、スピン方向に関係なく同一の統計を観測するため、提示されたスピン依存性を検出できないことを示す。
• 文献[1]の$\mathscr{P}_{\bf n}$の分布族は、誤差が$\|\mathscr{P}_{\rightarrow} - \mathscr{P}_{\uparrow}\|/2$未満のPOVMでは近似できないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダスとデュールがドレイバー力学で計算したスピン依存の到着時刻分布は、物理的量子測定の結果として実現可能か？
• RQ2 測定統計がPOVMから生じるという要請が、スピン依存の到着時刻分布の形に根本的な制約を課すか？
• RQ3 文献[1]の到着時刻統計を、任意の有効なPOVMを用いて近似する際の最小誤差は何か？
• RQ4 軸対称性、逆変換対称性、ねじれ対称性は、スピン依存の到着時刻の検出可能性にどのように影響するか？
• RQ5 設置が物理的に妥当に見えるにもかかわらず、文献[1]における検出器の測定可能性仮定がなぜ失敗するのか？

主な発見

• 文献[1]の到着時刻分布は、$\mathscr{P}_{\bf n} + \mathscr{P}_{\bf -n}$が$\bf n$に依存しないというPOVMの必要条件を破っており、これがいかなる量子測定からも生じえないことを証明している。
• 軸対称性および$\mathscr{P}_{\uparrow} = \mathscr{P}_{\downarrow}$の下で、測定可能性のためには$\mathscr{P}_{\uparrow} = \mathscr{P}_{\rightarrow}$が成立しなければならないが、[1]ではこの条件を満たさないため、分布は測定不能である。
• 任意の近似POVMは少なくとも$\Delta/4$の誤差を有する必要がある。ここで$\Delta = \sup_{{\bf n},{\bf m}}\| (\mathscr{P}_{\bf n}+\mathscr{P}_{\bf -n}) - (\mathscr{P}_{\bf m}+\mathscr{P}_{\bf -m}} \|$, これにより[1]のモデルでは下界$\|\mathscr{P}_{\rightarrow} - \mathscr{P}_{\uparrow}\|/2$が得られる。
• 軸対称性およびねじれ対称性の下で、これらの対称性を満たすいかなる検出器も、全スピン方向で同一の統計を観測するため、提示されたスピン依存性を検出できない。
• 逆変換対称性（$\mathscr{P}_{\bf n} = \mathscr{P}_{\bf -n}$）と軸対称性の組み合わせは、測定可能な到着時刻統計が完全にスピンに依存しないことを意味し、モデルの予測と矛盾する。
• 結論として、[1]における検出器がわずかな摂動でこれらの到着時刻を測定可能であるという仮定は無効である。非測定可能性は実験的精度の問題ではなく、根本的なものである。