[論文レビュー] Online Feedback Optimization and Singular Perturbation via Contraction Theory

Liliaokeawawa Cothren, Francesco Bullo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2023

Control and Stability of Dynamical SystemsEngineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間スケールパラメータの有界性と高速部分系および低速モデルの収縮性を活用して、摂動を伴う二時間スケール非線形系を分析する、新しい収縮理論的フレームワークを提案する。本稿は、全系と低次元モデル間の追従誤差に対する一様な上界を確立し、グローバルおよびローカルの収縮性条件を提供するとともに、オンラインフィードバック最適化および時変最適化子を伴うスタックルベルクゲームにおける新たな誤差境界を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we provide a novel contraction-theoretic approach to analyze two-time scale systems, including those commonly encountered in Online Feedback Optimization (OFO). Our framework endows these systems with several robustness properties, enabling a more comprehensive characterization of their behaviors. The primary assumptions are the contractivity of the fast sub-system and the reduced model, along with an explicit upper bound on the time-scale parameter. For two-time scale systems subject to disturbances, we show that the distance between solutions of the nominal system and solutions of its reduced model is uniformly upper bounded by a function of contraction rates, Lipschitz constants, the time-scale parameter, and the variability of the disturbances over time. Applying these general results to the OFO context, we establish new individual tracking error bounds, showing that solutions converge to their time-varying optimizer, provided the plant and steady-state feedback controller exhibit contractivity and the controller gain is suitably bounded. Finally, we explore two special cases: for autonomous nonlinear systems, we derive sharper bounds than those in the general results, and for linear time-invariant systems, we present novel bounds based on induced matrix norms and induced matrix log norms.

研究の動機と目的

• より優れたロバストネスと安定性の特徴付けを実現するため、二時間スケール系を分析する収縮理論的フレームワークの構築。
• 従来のラプラシアンに基づく手法の限界を克服するため、収縮率とリプシッツ定数を用いて、よりきめ細かい誤差境界を達成。
• 全系の解が時間とともに一様に低次元モデルの解を追従する明示的な条件を提供。
• オンラインフィードバック最適化や階層的ゲームにおける時変最適化子の追従を含め、時変摂動への分析の拡張。
• 対数ノルムと誘導ノルムを用いて、線形時不変および自己同相非線形系に対して新たな誤差境界を導出。

提案手法

• 本手法は、適切なノルムにおける高速部分系および低次元モデルの強い無限小収縮性を仮定する。
• 安定性と収束を保証するため、時間スケールパラメータ ε に対する明示的な上界を導入する。
• 全系とその低次元モデルの軌道間の距離を、収縮率とリプシッツ定数を用いて定量化する。
• 線形系の場合、対数ノルムと誘導ノルムを用いて、よりきめ細かい誤差境界を導出する。
• 本フレームワークは、オンラインフィードバック最適化とスタックルベルクゲームの二つの応用分野に適用され、時変最適化子を追従する。
• 安定性を示すために、行列に基づくハーヴィッツ条件を導出し、ε についてのシステムパラメータと収縮率の関数としての ε の境界を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮理論は、摂動下における二時間スケール系のロバストネスと安定性をどのように特徴づけられるか。
• RQ2 全系と低次元モデル間の追従誤差が一様に有界であることを保証する、時間スケールパラメータ ε に対する明示的な上界は何か。
• RQ3 提案されたフレームワークは、自己同相非線形系および線形時不変系において、従来のラプラシアンに基づく手法よりも鋭い誤差境界を達成できるか。
• RQ4 収縮理論的アプローチは、オンラインフィードバック最適化および階層的ゲームにおける時変最適化子の追従をどのように可能にするか。
• RQ5 二時間スケール系における一般化ヤコビ行列 𝒢ε のハーヴィッツ性を保証するシステム行列に関する条件は何か。

主な発見

• 二時間スケール系とその低次元モデルの解の間の距離は、収縮率、リプシッツ定数、時間スケールパラメータ ε、および摂動の時間変動性の関数として一様に上界で抑えられる。
• 高速部分系および低次元モデルの収縮性に基づき、二時間スケール系のグローバルおよびローカル収縮性の十分条件が確立された。
• 自己同相非線形系の場合、一般ケースよりも鋭い誤差境界が導出され、先行研究を改善した。
• 線形時不変系の場合、対数ノルムと誘導ノルムを用いて新たな誤差境界が導出され、標準的手法よりもきめ細かい推定が可能になった。
• オンラインフィードバック最適化およびスタックルベルクゲームにおいて、時変最適化子への収束を示す明示的な追従誤差境界が得られ、全体の収縮率が計算された。
• 一般化ヤコビ行列行列 𝒢ε のハーヴィッツ性を保証する十分条件が導出され、システムパラメータ a_ij, d_ij に依存する関数よりも小さい ε であることが要件となった。