[論文レビュー] Operads and moduli spaces

Christopher David Braun|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非可換な曲面（クライン曲面）のモジュライ空間を研究するための演算的枠組みを開発する。クライン位相的 conformal field theory（KTFT）とその関連するモジュラー演算子を導入し、クライン曲面のモジュライ空間のモビウスグラフ分解を確立する。これはリーマン曲面のリボングラフ分解に類似したものであり、量子ホモトピー代数は古典的ホモトピー代数の高 genus 拡張として導入され、チェーン＝シモンズ理論における量子不変量への応用がなされる。

ABSTRACT

This thesis is concerned with the application of operadic methods, particularly modular operads, to questions arising in the study of moduli spaces of surfaces as well as applications to the study of homotopy algebras and new constructions of 'quantum invariants' of manifolds inspired by ideas originating from physics. We consider the extension of classical 2-dimensional topological quantum field theories to Klein topological quantum field theories which allow unorientable surfaces. We generalise open topological conformal field theories to open Klein topological conformal field theories and consider various related moduli spaces, in particular deducing a Mobius graph decomposition of the moduli spaces of Klein surfaces, analogous to the ribbon graph decomposition of the moduli spaces of Riemann surfaces. We also begin a study, in generality, of quantum homotopy algebras, which arise as 'higher genus' versions of classical homotopy algebras. In particular we study the problem of quantum lifting. We consider applications to understanding invariants of manifolds arising in the quantisation of Chern-Simons field theory.

研究の動機と目的

• クライン位相的量子場理論（KTFT）を用いて、トポロジカル量子場理論を非可換な曲面へ拡張すること。
• 自己同型を備えた結合代数を記述する MAss 演算子のモジュラー閉包を用いて、オープン KTFT のモジュラー演算子枠組みを構築すること。
• リーマン曲面のモジュライ空間のリボングラフ分解を、クライン曲面のモジュライ空間に対してモビウスグラフ分解へ一般化すること。
• 量子ホモトピー代数を、A∞ 代数の高 genus 類似物として導入し、特に量子リフトの文脈で研究すること。
• チェーン＝シモンズ量子化から生じる 3 次元多様体の不変量とこれらの構成を結びつけること。物理的インスピレーションに基づく。

提案手法

• 特に、自己同型を備えた結合代数を記述する循環的演算子 MAss のモジュラー閉包を用いて、KTFT を形式化するモジュラー演算子を用いる。
• 生成数展開の概念を適用し、A∞ 代数の高 genus への変形として量子ホモトピー代数を定義する。
• リーマン曲面のモジュライ空間のリボングラフ分解を一般化することで、クライン曲面のモジュライ空間のモビウスグラフモデルを構築する。
• オープン KTFT のチェーン複体と A∞ 演算子のモジュラー閉包との間に、コスタロの結果を非可換な場合へ拡張した準同型を確立する。
• ホモトピー論と演算子的変形論を用いて、ホモトピー代数の量子リフトを分析する。
• チェーン＝シモンズ場理論を用いて、3 次元多様体の量子不変量を計算するための枠組みを適用し、トポロジカルデータを符号化するための演算子的構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル量子場理論を非可換な曲面に一般化するにはどうすればよく、そのような理論を支配する代数的構造は何か？
• RQ2 クライン曲面のモジュライ空間に対して、リボングラフ分解の類似物は何か？ そして、それがどのように演算子的手法で記述できるか？
• RQ3 量子ホモトピー代数は A∞ 代数の高 genus 一般化としてどのように生じるのか？ また、この文脈における量子リフトの役割は何か？
• RQ4 クライン曲面のモジュライ空間は、モビウスグラフを用いたセル分解によって記述可能か？ そして、これはモジュライ空間のホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 これらの演算子的構成は、チェーン＝シモンズ理論の文脈で 3 次元多様体の新しい不変量をどのように得るのか？

主な発見

• クライン曲面のモジュライ空間は、リーマン曲面のリボングラフ分解に類似した、モビウスグラフによってラベル付けられたセルへの分解を有する。
• オープン KTFT 演算子は、自己同型を備えた結合代数を記述する MAss 演算子のモジュラー閉包と同型である。
• オープン KTFT のチェーン複体と A∞ 演算子のモジュラー閉包との間に、準同型が確立され、コスタロの結果が非可換な場合へ拡張された。
• 量子ホモトピー代数は、A∞ 代数の高 genus 変形として定義され、古典的ホモトピー代数を一般化する量子リフト手順を有する。
• 本枠組みは、クライン曲面のモジュライ空間の演算子的構造を用いて、チェーン＝シモンズ理論による 3 次元多様体の量子不変量の新しい代数的幾何的構成を提供する。
• トポロジカル的事実「2 個のクロスキャップは、境界を持つクラインボラに微分同型である」から、関係式 $U^2 = \bigoplus \beta_i^* \beta_i$ が導かれる。これはモビウスグラフモデルを支持する。