[論文レビュー] Operads, configuration spaces and quantization

Sergei Merkulov|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかなコーナーを持つ多様体の圏における、コンパクト化された配置空間の新しいオペラッドを構成する。その基本的チェーン複体は、$A_∞$-および$L_∞$-代数とそれらのホモトピー的準同型の2色オペラッド、およびオープンクローズドホモトピー代数（OCHA）の4色オペラッドを実現する。フェルミオングラフオペラッドと、これらの配置空間上のド・ラーム場理論を用いて、伝達関数の選択に依存するフェルミオン型和を介した量子化表現を構成し、変形量子化および形式的マップの幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

We review several well-known operads of compactified configuration spaces and construct several new such operads, C, in the category of smooth manifolds with corners whose complexes of fundamental chains give us (i) the 2-coloured operad of A-infinity algebras and their homotopy morphisms, (ii) the 2-coloured operad of L-infinity algebras and their homotopy morphisms, and (iii) the 4-coloured operad of open-closed homotopy algebras and their homotopy morphisms. Two gadgets - a (coloured) operad of Feynman graphs and a de Rham field theory on C - are introduced and used to construct quantized representations of the (fundamental) chain operad of C which are given by Feynman type sums over graphs and depend on choices of propagators.

研究の動機と目的

• 滑らかなコーナーを持つ多様体の圏において、既知のホモトピー代数オペラッドを実現する基本チェーン複体を持つ、コンパクト化された配置空間の新しいオペラッドを構築すること。
• 実数直線上および上半平面上の配置空間を用いて、$A_\infty$-および$L_\infty$-代数とそれらのホモトピー的準同型の2色オペラッドの幾何的モデルを提供すること。
• 上半平面上の配置空間を用いて、オープンクローズドホモトピー代数（OCHA）の4色オペラッドへのこれらのモデルの拡張を行うこと。
• ホモトピー代数間の準同型をモデル化するフェルミオングラフオペラッド $\mathfrak{G}$ 及びその色分けされた変種 $\mathfrak{G}^{\uparrow\downarrow}$, $\mathfrak{G}^{\uparrow}$, $\mathfrak{G}^{\downarrow}$ を導入し、これらのチェーンオペラッドの量子化表現を構成すること。
• これらの構成が、伝達関数に依存するフェルミオン和を通じて、変形量子化およびコンツェビッチの形式的マップの明示的実現をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 上半平面上のコンパクト化された配置空間 $\overline{C}_{n,m}(\mathbb{H})$ および $\widehat{\mathfrak{C}}_{n,m}(\mathbb{H})$ を、滑らかなコーナーを持つ多様体として構成し、フルトン＝マクファーソンおよびコンツェビッチのコンパクト化を一般化する。
• 明示的なアトラスと同値性構成を用いて、これらの配置空間に滑らか（または半代数的）構造を導入し、境界ストラトと向きの整合性を保証する。
• ホモトピー代数間の準同型をモデル化するためのフェルミオングラフオペラッド $\mathfrak{G}$ 及びその色分けバージョン $\mathfrak{G}^{\uparrow\downarrow}$, $\mathfrak{G}^{\uparrow}$, $\mathfrak{G}^{\downarrow}$ を導入する。
• 完成化されたド・ラーム代数のテンソル積を用いて、$\overline{C}(\mathbb{R}^d)$ 上にド・ラーム場理論を定義し、微分形式の統合を通じてチェーンオペラッドの表現を導く。
• 伝達関数（例えば、球面上の同次体積形式やコンツェビッチ（反）伝達関数）によって決定される振幅を持つフェルミオングラフの和を用いて、チェーンオペラッドの量子化表現を構成する。
• 得られた場理論を用いて、結合的代数の変形量子化およびシュアウトエン括弧の実現を行い、$L_\infty$-代数の形式的マップを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数直線および上半平面上のコンパクト化された配置空間は、$A_\infty$-および$L_\infty$-代数とそれらの準同型のオペラッドの幾何的モデルを構築するためにどのように利用可能か？
• RQ2 上半平面上の配置空間の基本チェーン複体として、オープンクローズドホモトピー代数（OCHA）の4色オペラッドを実現できるか？
• RQ3 フェルミオングラフオペラッドは、$A_\infty$, $L_\infty$, および OCHA 代数間のホモトピー的準同型をモデル化するためにどのように用いることができるか？
• RQ4 伝達関数は、ド・ラーム場理論を通じたチェーンオペラッドの量子化表現を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 配置空間上のド・ラーム場理論は、変形量子化および形式的定理の既知の結果を再現できるか？

主な発見

• コンパクト化された配置空間 $\overline{C}_{\bullet}(\mathbb{R})$ の基本チェーン複体は、$A_\infty$-代数とそれらのホモトピー的準同型の2色オペラッドを実現する。
• 上半平面上の配置空間 $\overline{C}_{\bullet,\bullet}(\mathbb{H})$ の基本チェーン複体は、オープンクローズドホモトピー代数（OCHA）とそれらのホモトピー的準同型の4色オペラッドを実現する。
• 上半平面上の配置空間 $\widehat{\mathfrak{C}}_{\bullet,0}(\mathbb{H})$ の基本チェーン複体は、$L_\infty$-代数とそれらのホモトピー的準同型の2色オペラッドを実現する。
• ド・ラーム場理論 $\overline{C}(\mathbb{R}^d)$ は、微分形式の統合を通じてチェーンオペラッドの表現をもたらし、フェルミオン型和による量子化表現を導く。
• この構成により、コンツェビッチの形式的マップおよびシュアウトエン括弧の変形量子化が、球面上の同次体積形式やコンツェビッチ（反）伝達関数などの伝達関数を用いて回復される。
• 本稿は、$\mathcal{O}C_\infty$ オペラッドを $\overline{C}(\mathbb{H})$ の基本チェーンとして幾何的実現し、それがオープンクローズドホモトピー代数理論におけるその役割を確認する。