[論文レビュー] Optimal component labeling algorithms for mesh-connected computers and VLSI

Quentin F. Stout|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Digital Image Processing Techniques参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、メッシュ接続コンピュータおよびVLSIアーキテクチャにおける連結成分および最小スパニングフォレスト（MSF）を計算する最適なアルゴリズムを提示する。再帰的粗化および空間を埋める曲線によるソーティングを用いた階層的木ラベル付けにより、2次元メッシュではΘ(√n)、d次元メッシュではΘ(n¹ᐟᵈ)の時間で実行され、このモデルにおける理論的下界と一致する。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G$ of $n$ weighted edges, stored one edge per processor in a square mesh of $n$ processors, we show how to determine the connected components and a minimal spanning forest in $Θ(\sqrt{n})$ time. More generally, we show how to solve these problems in $Θ(n^{1/d})$ time when the mesh is a $d$-dimensional cube, where the implied constants depend upon $d$.

研究の動機と目的

• メッシュ接続アーキテクチャにおける連結成分および最小スパニングフォレスト（MSF）計算の最適な並列アルゴリズムの設計。
• 通信距離が性能を制限するエネルギー効率的で大規模なチップ設計の重要性に対応する。
• メッシュモデルにおけるコンponentラベリングおよびMSFの漸近的最適な時間計算量を達成し、既知の下界と一致させる。
• 2次元からd次元メッシュアーキテクチャへと結果を拡張し、スケーラブルな性能を実現する。

提案手法

• 再帰的ボルヴカスタイルの粗化を用いる：各イテレーションで、各頂点は自身に接続する最小重みの辺を選択し、木の森林を形成する。
• 空間を埋める曲線順序（例：ヒルベルト曲線）を適用して、メッシュ全体で辺の効率的ソーティングおよびルーティングを実現し、Θ(√n)時間で実行する。
• 局所的な近隣比較とラベルベースルーティングを用いて、根に向かう有向部分木を形成することで木をラベル付ける。
• 下位から上位へのマージを2ⁱ×2ⁱのサブメッシュで行い、祖先追跡を用いて根ラベルを効率的に特定する。
• 粗化後に、サブメッシュ上で再帰的にMSFを解き、エッジ数を削減し、部分問題のサイズを縮小する。
• 粗化ステップ数を2d+1に増やすことで、d次元メッシュにアルゴリズムを拡張し、十分な頂点数の削減を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッシュ接続コンピュータ上で連結成分および最小スパニングフォレストを最適時間で計算できるか？
• RQ2 n本のエッジをもつd次元メッシュにおいて、コンponentラベリングおよびMSFの最小時間計算量は何か？
• RQ3 再帰的粗化および階層的木ラベリングをどのようにメッシュモデルに適応させれば最適なパフォーマンスが達成できるか？
• RQ4 時間計算量の最適性を保ちながら、アルゴリズムをd次元メッシュに拡張できるか？

主な発見

• √n×√nのメッシュ接続コンピュータ上では、最小スパニングフォレストおよび連結成分がΘ(√n)時間で計算可能である。
• アルゴリズムは最適な時間計算量を達成しており、メッシュモデルにおける既知の下界と一致する。
• d次元メッシュでは時間計算量がΘ(n¹ᐟᵈ)であり、定数はdに依存するが、アルゴリズムは依然として最適である。
• 空間を埋める曲線順序の使用により、Θ(√n)時間でメッシュ全体にわたりエッジの効率的ソーティングおよびルーティングが可能になる。
• 再帰的粗化により、各イテレーションで頂点数が少なくとも半分に削減され、5回の粗化ステップでエッジ数が最大n/8にまで削減される。
• 木ラベリングフェーズでは、サブメッシュ内の階層的祖先追跡を用いて、合計Θ(√n)時間で根ラベルを特定し、効率的なコンponentラベリングを実現する。