[論文レビュー] Pathological Behavior of Renormalization-Group Maps at High Fields and Above the Transition Temperature

Aernout C. D. van Enter, Roberto Fernández+1 more|ArXiv.org|Sep 20, 1994

Theoretical and Computational Physics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高磁場または転移温度より高い温度領域においても、縮重化群（RG）変換—特に減数化と多数決ルール—が統計力学的モデルにおいて非ギブス測度を生成することを示している。これは、高温または強い外部磁場領域においてもRG写像がギブス性を保つという仮定に反する。結果として、RG写像における病理的挙動は、これまで認識されていたよりも広範にわたることが明らかになった。

ABSTRACT

We show that decimation transformations applied to high-$q$ Potts models result in non-Gibbsian measures even for temperatures higher than the transition temperature. We also show that majority transformations applied to the Ising model in a very strong field at low temperatures produce non-Gibbsian measures. This shows that pathological behavior of renormalization-group transformations is even more widespread than previous examples already suggested.

研究の動機と目的

• 高温度および高磁場領域における縮重化群変換がギブス性を保つかどうかを調査すること。
• 極端な条件下における高q状態のポッター模型およびイジング模型における減数化および多数決変換写像の挙動を検討すること。
• RG写像が転移温度より上でも、または強い外部磁場下でもギブス的であるという従来の信念に挑戦すること。
• 既知の相転移境界をはるかに超えて、統計場理論における非ギブス性の理解を拡張すること。

提案手法

• 臨界温度より高い温度における高qポッター模型への減数化変換の適用。
• 低温における強い外部磁場下のイジング模型に対する多数決ルール変換の使用。
• 得られた測度がギブス性を満たすかどうかを分析すること。
• 統計力学および確率論からの厳密な数学的技法を用いて、ギブス性の欠如を評価すること。
• 異なる条件下におけるRG写像の挙動を比較し、病理的挙動の発現領域を同定すること。
• 変換後の測度が初期モデルがギブス的であったにもかかわらず、ギブス的でないことを形式的証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界温度より高い温度における高qポッター模型に減数化変換を適用した場合、ギブス測度が得られるか？
• RQ2 強い磁場下の低温におけるイジング模型に多数決ルール変換を適用した場合、非ギブス測度が生成されるか？
• RQ3 RG写像の非ギブス性は、相転移付近に限定されるものか、それとも高温度および高磁場領域にまで広がるか？
• RQ4 縮重化群変換においてギブス性が崩壊する条件は何か？

主な発見

• 臨界温度より高い温度においても、高qポッター模型に減数化変換を適用すると、非ギブス測度が生成される。
• 低温における非常に強い磁場下のイジング模型に多数決ルール変換を適用すると、非ギブス測度が得られる。
• RG写像の病理的挙動は、臨界領域や低温領域に限定されるものではなく、高温度および高磁場領域にも広がっている。
• これらの結果は、RG変換における非ギブス性が、これまで知られていたよりも広範にわたることを示している。
• 結果として、RG写像が物理的に妥当な領域においてもギブス性を保つという基礎的仮定が揺るがされることになった。