[論文レビュー] Pathwise Itô Calculus for Rough Paths and Rough PDEs with Path Dependent Coefficients

Christian Keller, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、経路に依存する係数を有する粗いパスに対する経路的 Itô 微積分を構築し、Dupire の関数的 Itô 微積分を制御された粗いパスへと拡張する。最小限の正則性条件下で粗い確率微分方程式および粗い偏微分方程式の適切な定義を確立し、例外的な零集合を含まない確率的係数を有する確率的偏微分方程式の経路的解を可能にする。

ABSTRACT

This paper introduces the path derivatives, in the spirit of Dupire's functional Itô calculus, for the controlled paths in the rough path theory with possibly non-geometric rough paths. The theory allows us to deal with rough integration and rough PDEs in the same manner as standard stochastic calculus. We next study rough PDEs with coefficients depending on the rough path itself, which corresponds to stochastic PDEs with random coefficients. Such coefficients is less regular in the time variable and is not covered in the existing literature. The results are useful for studying viscosity solutions of stochastic PDEs.

研究の動機と目的

• 関数的 Itô 微積分を、非幾何的および経路に依存する係数を有する粗いパスフレームワークに拡張すること。
• ブラウン運動などの確率過程から生じる時間に関して正則性の欠如（ Hölder-$(1-\alpha)$ 連続でない）を扱う。
• 経路全体に依存する係数を有する粗い確率微分方程式（RDE）の適切な定義を、最小限の Hölder 正則性条件下で確立すること。
• 確率的係数を有する確率的偏微分方程式の経路的解理論を構築し、確率的零集合に依存しないこと。
• 経路微分を用いて、粗いパス設定における Itô-Ventzell 公式および合成則を一般化し、粗い偏微分方程式の解析を可能にする。

提案手法

• 制御された粗いパスに対する経路微分を導入し、一次の空間微分が Gubinelli の微分と一致し、時間微分が二次のテイラー展開から生じることを定義する。
• 二次変動の役割を果たす、二次変動に類似した括弧積過程を定義する。
• 経路的 Itô-Ventzell 公式を経路微分の合成則として適用し、粗い偏微分方程式の変換を可能にする。
• 非マルコフ的係数を扱うために、ルベーグ積分に代えてヤング積分を漂移項 $ f(t,\theta_t)d\langle\boldsymbol{\omega}\rangle_t $ に用いる。
• 粗いパス $ \omega $ から二階過程 $ \underline{\omega} $ を構成し、確率論を用いずに経路的確率積分を可能にする。
• 線形 RDE に対しては、リッカティ型 RDE を用いた分離戦略を採用し、半明示的解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的 Itô 微積分を、経路に依存する係数を有する制御された粗いパスに対して、経路的にどのように拡張できるか。
• RQ2 係数が経路全体に依存する場合に、最小限の正則性条件下で粗い確率微分方程式の適切な定義が保証されるための係数の正則性条件は何か。
• RQ3 確率的係数を有する確率的偏微分方程式の経路的解は、確率的零集合に依存せずに構成可能か。
• RQ4 経路的 Itô-Ventzell 公式は、粗いパスの経路微分における合成則とどのように関係するか。
• RQ5 括弧積過程 $ \langle\boldsymbol{\omega}\rangle $ は、経路に依存する係数に対する粗いパスにおける Itô 微積分の類似物を可能にする役割を果たすか。

主な発見

• 経路的 Itô-Ventzell 公式は、提案された経路微分における合成則と等価であり、粗い偏微分方程式の変換を可能にする。
• RDE の適切な定義は、最小限の正則性条件下で確立される：$ g(\cdot,x), f(\cdot,x), \partial_\omega g(\cdot,x) $ は Hölder-$ \beta $ 連続で、$ \beta \in (1-2\alpha, \alpha] $ を満たし、ブラウン運動の設定では $ \alpha \in (1/3, 1/2) $ の範囲で成立する。
• 確率的係数を有する確率微分方程式の経路的解は、すべての $ \omega \in \Omega $ に対して存在し、粗いパス位相で連続であり、例外的な零集合を含まない。
• 線形 RDE に対しては、リッカティ型 RDE を用いた分離戦略により、半明示的解が得られ、多次元設定でも有効である。
• スムーズ性の仮定の下で、確率的偏微分方程式の解 $ u(\omega, \cdot) $ は、変換変数における決定的偏微分方程式の解 $ v(\omega, \cdot) $ と等価である。
• 変換 $ v(t,\omega,x) = \psi(t,\omega,x,u(t,\theta^{\omega,x}_t)) $ により、経路依存の SPDE は、時間微分 $ \partial_t v = \widehat{f}(t,\omega,x,v,\partial_x v, \partial_{xx}^2 v) $ を有する標準的 PDE に還元される。