[論文レビュー] Physical Implementability of Quantum Maps and Its Application in Error Mitigation

Jiaqing Jiang, Kun Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 62被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般の量子マップ（特に完全正値でないもの）が物理的に実装可能な操作によってどの程度うまく近似できるかを定量化する物理的動機付けに基づく測度を導入する。準確確率分解と半定値計画法を用いて、計算が容易で、誤り補正の文脈で意味を持つ物理的実装可能性の測度を定義し、並列ノイズの下でグローバル誤り補正がローカル補正に優位性を持たないことを示している。

ABSTRACT

Completely positive and trace-preserving maps characterize physically implementable quantum operations. On the other hand, general quantum maps, such as positive but not completely positive maps, which can not be physically implemented, are fundamental ingredients in quantum information, both in theoretical and practical perspectives. It motivates how well one can approximate a general quantum map by physically implementable operations. In this work, we introduce a systematic framework to resolve this task using the quasiprobability decomposition technique. More specifically, we decompose a target quantum map into a linear combination of physically implementable operations and introduce the physical implementability measure as the least amount of negative portion that the quasiprobability must pertain. We show this measure is efficiently computable by semidefinite programs and prove several properties of this measure, such as faithfulness, additivity, and unitary invariance. We derive lower and upper bounds in terms of the Choi operator's trace norm and obtain analytic expressions for several quantum maps of practical interests. Furthermore, we endow this measure an operational meaning within the quantum error mitigation scenario, quantifying the ultimate sampling cost achievable using the full expressibility of quantum computers. In particular, for parallel quantum noises, we show that global error mitigation has no advantage over local error mitigation.

研究の動機と目的

• 物理的に実装できない一般の量子マップを、完全正値かつトレース保存（CPTP）操作のみを用いて近似するという根本的課題に取り組む。
• 非物理的マップの準確確率分解における最小の負の重みを定量化する体系的なフレームワークを構築する。
• 物理的意味を持ち、望ましい数学的性質（忠実性やユニタリ不変性など）を備えた、計算可能な物理的実装可能性の測度を確立する。
• この測度を量子誤り補正に関連付け、サンプリングコストの観点から明確な操作的解釈を与える。

提案手法

• 目標となる量子マップを、係数が負にもなる可能性のあるCPTPマップの線形結合に分解する準確確率技術を用いる。
• このような分解における最小の合計負の重みとして物理的実装可能性の測度を定義する。
• この測度の計算を半定値計画問題（SDP）として定式化し、数値的評価を効率的に行う。
• 目標マップのチョイ演算子のトレースノルムを用いて、この測度の境界を導出する。
• 構造的および双対性の議論を用いて、測度の性質（忠実性、加法性、ユニタリ不変性など）を解析する。
• この測度を量子誤り補正の文脈に応用し、最終的なサンプリングコストを決定する上でその操作的意義を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の量子マップ（完全正値でないもの）の物理的実装可能性を体系的にどのように定量化できるか。
• RQ2 非物理的マップを近似するための準確確率分解において、必要な最小の負の重みは何か。
• RQ3 物理的実装可能性の測度は効率的に計算可能であり、その数学的および操作的性質は何か。
• RQ4 この測度は量子誤り補正プロトコルにおけるサンプリングコストとどのように関係するか。
• RQ5 並列量子ノイズを扱う際、グローバル誤り補正はローカル誤り補正に優位性を示すのか。

主な発見

• 物理的実装可能性の測度は、半定値計画法を用いることで効率的に計算可能であり、広範な量子マップに対して実用的な評価が可能である。
• この測度は忠実性を有しており、マップが物理的に実装可能（すなわちCPTP）である場合にかつその場合にのみゼロとなる。また、テンソル積において加法的である。
• ユニタリ共役に関して不変であるため、局所的基底変更に対して物理的ロバスト性を示している。
• チョイ演算子のトレースノルムを用いることで、より鋭い境界が得られ、一般のマップに対して解析的推定値が得られる。
• トランスポーズマップを含む、実用的に重要ないくつかの量子マップについて、測度の解析的表現が得られた。
• 並列量子ノイズの下で、本稿ではグローバル誤り補正がサンプリングコストの観点からローカル補正に優位性を持たないことを証明した。