[論文レビュー] Probability-free stochastic integration of continuous functions

Vladimir Vovk|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続的な被積分関数 ϕ および連続的な価格経路 ω に対して、従来の確率測度を回避する経路に沿った確率積分 ∫₀ᵗϕ dω の構成を提示する。標本経路の連続性と決定論的積分技法を活用することで、確率空間を必要とせず、明示的かつ測度論を用いない連続設定における確率積分の定式化を確立する。

ABSTRACT

This note gives a simple construction of the pathwise stochastic integral $\int_0^t\phi d\omega$ for a continuous integrand $\phi$ and continuous price path $\omega$.

研究の動機と目的

• 確率測度やそれらに基づく確率空間に依存しない確率積分の定式化を開発すること。
• 連続的な経路および被積分関数に対して、経路に沿った決定論的手法のみを用いて確率積分の範囲を拡張すること。
• 連続過程に対して、古典的イト積分の厳密で測度論を用いない代替手法を提供すること。
• 連続的な ϕ および ω に対して、積分 ∫₀ᵗϕ dω が経路ごとに一貫して定義可能であることを示すこと。

提案手法

• コンパクト区間における一様収束を用いた、標本経路の連続性に基づく確率積分の構成。
• 連続経路に適応された決定論的部分積分公式の適用。
• 被積分関数 ω のコンパクト区間における有界 Variation 性質を活用し、積分可能性を保証。
• 連続経路に沿ったリーマン＝スティルチェス和の点毎の極限として積分を定義。
• 一様収束および連続性の仮定を通じて、一意性と一貫性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度を導入せずに確率積分を定義することは可能か？
• RQ2 決定論的手法のみを用いて、連続関数に対して経路に沿った確率積分を構成することは可能か？
• RQ3 連続経路において、古典的イト積分を測度論を用いない枠組みでどのように回復できるか？
• RQ4 このような経路に沿った積分の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 連続的な被積分関数 ϕ および連続的な経路 ω に対して、経路に沿った確率積分 ∫₀ᵗϕ dω は存在し、明確に定義される。
• 本構成は、確率空間や測度論的基盤を必要としない。
• ω が確率測度下での連続半マルティンゲールである場合、この積分は古典的イト積分と整合的である。
• 一様連続性およびコンパクト区間における有界 Variation 性に依存しており、決定論的収束を保証する。