[論文レビュー] Problem of Time and Background Independence: classical version's higher Lie Theory

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 54被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、高次のリー理論を導入することで、古典的な背景独立性と時間の問題の解決を拡張し、ディラックの制約閉包アルゴリズムをより広範な「リーのアルゴリズム」フレームワークに一般化する。リーの剛性と中間対象再配分（RIO）不変性を、グローバル選択原理として同定し、時空構築とリー代数および代数的束による幾何的構造の統一的役割を示している。

ABSTRACT

A local resolution of the Problem of Time has recently been given, alongside reformulation as a local theory of Background Independence. The classical part of this requires just Lie's Mathematics, much of which is basic: i) Lie derivatives to encode Relationalism. ii) Lie brackets for Closure giving Lie algebraic structures. iii) Observables defined by a Lie brackets relation, in the constrained canonical case as explicit PDEs to be solved using Lie's flow method, and themselves forming Lie algebras. iv) Lattices of constraint algebraic substructures induce dual lattices of observables subalgebras. The current Article focuses on two pieces of `higher Lie Theory' that are also required. Preliminarily, we extend Dirac's Algorithm for Constraint Closure to `Lie's Algorithm' for Generator Closure. 1) We then reinterpret `passing families of theories through the Dirac Algorithm' - a method used for Spacetime Construction (from space) and getting more structure from less structure assumed more generally - as the Dirac Rigidity subcase of Lie Rigidity. We also provide a Foundations of Geometry example of specifically Lie rather than Dirac Rigidity, to illustrate merit in extending from Dirac to Lie Algorithms. We point to such rigidity providing a partial cohomological (and thus global) selection principle for the Comparative Theory of Background Independence. 2) We finally pose the universal (theory-independent) analogue of GR's Refoliation Invariance for the general Lie Theory: Reallocation of Intermediary-Object Invariance. This is a commuting pentagon criterion: in evolving from an initial object to a final object, does switching which intermediary object one proceeds via amount to at most a difference by an automorphism of the final object? We argue for this to also be a selection principle in the Comparative Theory of Background Independence.

研究の動機と目的

• 基本的なリー微積分を超えた、高度なリー理論的構造を組み込むことにより、古典的な時間の問題の解決を拡張すること。
• 制約付きハミルトニアン系における制約閉包のディラックのアルゴリズムを一般化し、生成子の閉包を扱う一般化された「リーのアルゴリズム」を確立すること。
• 比較的背景独立理論におけるグローバル選択原理としてのリーの剛性と中間対象再配分（RIO）不変性を同定すること。
• 共形構造および射影構造を含む基礎的幾何学的例を通じて、高次のリー理論の物理的および幾何的意義を示すこと。
• リー理論的剛性と自己同型不変性を用いて、より構造の薄い初期データから時空構築と構造の出現を統一すること。

提案手法

• ディラックの制約閉包アルゴリズムを、一般のリー括弧にまで拡張した「リーのアルゴリズム」に一般化し、ポisson括弧に限らない閉包を扱う。
• 「理論の族をディラックのアルゴリズムを通す」ことを、より広範なリー剛性フレームワーク内でのディラック剛性という特別な場合として再解釈する。
• 一般理論に依存しない、一般化されたアインシュタイン一般相対性理論の「再葉層構造不変性」のアナロジーとしての「中間対象再配分（RIO）不変性」を導入し、可換五角形基準として定式化する。
• リー括弧関係から定義される可観測量のための1階偏微分方程式系を解くために、リーの流れ法を適用する。
• 制約代数的部分構造と可観測量代数的部分代数の間のラティス双対性を用いて、背景独立理論の代数的構造を分析する。
• 平坦空間における2パラメータ族のベクトル場を生成子の閉包をモデル化するために用い、条件 $\mu(2\mu + \nu) = 0$ を通じて自己閉包構造の分類を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックの制約閉包アルゴリズムは、ポisson括弧に限らず、一般のリー括弧構造にどのように一般化可能か？
• RQ2 比較的背景独立理論における一貫した物理理論の選択に、リーの剛性が果たす役割は何か？
• RQ3 中間対象再配分（RIO）不変性基準は、一般相対性理論の「再葉層構造不変性」を一般理論に依存しない原理へどのように一般化するか？
• RQ4 リー理論的枠組みは、一貫した背景独立モデルに対するコホノロジー的選択機構をどのように提供するか？
• RQ5 共形幾何や射影幾何といった幾何的構造は、基礎的幾何的設定におけるリー代数的閉包条件からどのように出現するか？

主な発見

• 条件 $\mu(2\mu + \nu) = 0$ が、2パラメータ族の生成子 $\underline{Q}^{\text{tria}}_{\mu,\nu}$ の自己閉包を完全に特徴づけ、特殊射影生成子と特殊共形生成子という2つの異なる解をもたらす。
• 1つのリー括弧閉包条件から射影的および共形的生成子が回復されることにより、ディラックのポisson剛性を越えたリーの剛性が、幾何理論における物理的選択原理として機能することが示された。
• リー剛性の特別な場合であるディラック剛性が、時空構築分野で知られている結果の背後にあることを示し、より広範なフレームワークが既存の物理学と整合していることを検証した。
• 中間対象再配分（RIO）不変性基準は、異なる中間構造経路を通った場合に、自己同型を除いて等価な最終結果が得られるように保証する、普遍的な代数的五角形条件として提案された。
• $c = \infty$、$c = c_{\text{uni}}$、$c = 0$ を含む複数の障害項が、リーのアルゴリズムから自然に生じることを示し、それらの消滅は強い代数的制約によって保証された。
• リー理論的剛性が、背景独立理論における物理的一致性と代数的位相的構造を結びつける部分的コホノロジー的選択原理を提供することを確立した。