[論文レビュー] QP-structures of degree 3 and LWX 2-algebroids

Jiefeng Liu, Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元QP構造が自然にこのような構造を生じることを示し、CLWX 2代数的構造をコルタン代数的構造のカテゴリフィケーション一般化として導入する。さらに、CLWX 2代数的構造はLie 3代数を自然に生じさせ、分割されたLie 2代数的構造および分割されたLie 2双代数的構造から構成可能であり、既知の2次元QP構造とコルタン代数的構造の対応関係を高次カテゴリカル構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we give the notion of a CLWX 2-algebroid and show that a QP-structure of degree 3 gives rise to a CLWX 2-algebroid. This is the higher analogue of the result that a QP-structure of degree 2 gives rise to a Courant algebroid. A CLWX 2-algebroid can also be viewed as a categorified Courant algebroid. We show that one can obtain a Lie 3-algebra from a CLWX 2-algebroid. Furthermore, CLWX 2-algebroids are constructed from split Lie 2-algebroids and split Lie 2-bialgebroids.

研究の動機と目的

• コルタン代数的構造のカテゴリフィケーション版として、CLWX 2代数的構造を定義すること。
• 3次元QP構造とCLWX 2代数的構造の間の対応関係を確立し、既知の2次元ケースを一般化すること。
• CLWX 2代数的構造が自然にLie 3代数を生じることを示すこと。
• 分割されたLie 2代数的構造および分割されたLie 2双代数的構造からCLWX 2代数的構造を構成できることを示すこと。

提案手法

• 3次元Q構造を備えた次数付きベクターバンドルとしてCLWX 2代数的構造を、コルタン代数的構造の高次カテゴリカル一般化として定義する。
• CLWX 2代数的構造の代数的公理を、3次元QP構造の枠組みを用いて導出する。
• 導出ブラケット構成を適用し、CLWX 2代数的構造の次数付き構造からLie 3代数を抽出する。
• カテゴリカルな上昇と整合性条件を用いて、分割されたLie 2代数的構造および分割されたLie 2双代数的構造からCLWX 2代数的構造を構成する。
• ホモトピージャコビ恒等式の明示的計算を通じて、得られた構造がCLWX 2代数的構造の公理を満たすことを検証する。
• 導出されたLie 3代数構造が適切に定義されており、閉じていることを示すことにより、構成の整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元QP構造のカテゴリフィケーション版として、コルタン代数的構造の高次類似物をどのように定義できるか？
• RQ2 3次元QP構造から自然に生じる代数的構造は何か？ そして、それは高次ゲージ理論とどのように関係するか？
• RQ3 CLWX 2代数的構造からLie 3代数を抽出できるか？ もしそうなら、その構成法は何か？
• RQ4 分割されたLie 2代数的構造および分割されたLie 2双代数的構造からCLWX 2代数的構造を構成するための条件は何か？
• RQ5 高次幾何の文脈において、CLWX 2代数的構造は古典的コルタン代数的構造をどのように一般化するか？

主な発見

• 3次元QP構造はCLWX 2代数的構造を生じさせ、2次元QP構造とコルタン代数的構造の既知の対応関係を一般化する。
• CLWX 2代数的構造は、その次数付きシンプレクティック構造およびホモトピーLie代数的性質から、自然にLie 3代数構造を支持する。
• 分割されたLie 2代数的構造および分割されたLie 2双代数的構造からCLWX 2代数的構造が構成可能であることが示され、例の体系的生成法が得られる。
• 構成により、CLWX 2代数的構造が、高次ホモトピーおよび対称性データをその構造に埋め込んだコルタン代数的構造のカテゴリフィケーション版として機能することが確認される。
• 3次元QP構造の文脈において、導出ブラケット構成の整合的な高次類似物が確立される。
• 本稿は、高次ゲージ理論、高次Lie理論、一般化幾何学をCLWX 2代数的構造を通じて結ぶ基盤的リンクを提供する。