[論文レビュー] Quantum algorithms for spectral sums

Alessandro Luongo, Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称正定値行列のスペクトル和（例：対数行列式、フォン・ノイマンエントロピー、逆行列のトレース、シュタットン-pノルム）を推定する新しい量子アルゴリズムを提示する。量子特異値変換と量子トレース推定を活用することで、行列サイズに対してサブ線形な実行時間と、条件数および誤差に対して多項式的依存性を達成し、非ゼロ要素数に線形にスケールする古典的確率的手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We propose new quantum algorithms for estimating spectral sums of positive semi-definite (PSD) matrices. The spectral sum of an PSD matrix $A$, for a function $f$, is defined as $ ext{Tr}[f(A)] = \sum_j f(λ_j)$, where $λ_j$ are the eigenvalues of $A$. Typical examples of spectral sums are the von Neumann entropy, the trace of $A^{-1}$, the log-determinant, and the Schatten $p$-norm, where the latter does not require the matrix to be PSD. The current best classical randomized algorithms estimating these quantities have a runtime that is at least linearly in the number of nonzero entries of the matrix and quadratic in the estimation error. Assuming access to a block-encoding of a matrix, our algorithms are sub-linear in the matrix size, and depend at most quadratically on other parameters, like the condition number and the approximation error, and thus can compete with most of the randomized and distributed classical algorithms proposed in the literature, and polynomially improve the runtime of other quantum algorithms proposed for the same problems. We show how the algorithms and techniques used in this work can be applied to three problems in spectral graph theory: approximating the number of triangles, the effective resistance, and the number of spanning trees within a graph.

研究の動機と目的

• 対称正定値行列のスペクトル和を、古典的状況では計算が高コストとなるような状況で、効率的な量子アルゴリズムを開発すること。
• 行列データへの量子アクセスを活用することで、行列サイズに伴う実行時間の依存関係を古典的状況の線形から量子的状況のサブ線形に削減すること。
• 機械学習、統計、計算化学の分野で活用可能な、対数行列式、逆行列のトレース、フォン・ノイマンエントロピー、シュタットン-pノルムといった主要なスペクトル量の高速推定を可能にすること。
• シュタットン-pノルムなどにまで拡張するように、SPD行列に限らない状況にまで量子アルゴリズムを一般化すること。
• 現在の量子手法の限界を特定し、例えば負の固有値を含む場合に推定が困難なエストラダ指数の問題を明らかにし、今後の方向性を提案すること。

提案手法

• アルゴリズムは、行列 A の量子ブロックエンコーディングを用い、量子特異値変換（SVT）によりそのスペクトルを効率的に操作可能にする。
• 主要サブルーチンとして、アモニチュード推定と制御ユニタリを用いて、行列関数のトレースを推定する量子トレース推定が用いられる。
• 対数(λ) や 1/λ といった固有値に適用される関数の近似に、チェビシェフ展開やテイラー展開などの多項式近似技術が用いられる。
• 行列 A/μ に対する (μ, log n, 0)-ブロックエンコーディングへのアクセスを仮定することで、所望の精度まで f(A) を効率的に実装可能となる。
• 近似誤差（多項式展開由来）とトレース推定誤差を組み合わせることで誤差境界を導出し、相対誤差の保証が得られる。
• 逆行列のトレースの推定では、1/λ の有理近似に対するブロックエンコーディングを構築し、誤差を制御した状態でトレース推定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、対数行列式やフォン・ノイマンエントロピーといったスペクトル和の推定において、行列サイズに対してサブ線形な実行時間を達成できるか？
• RQ2 古典的確率的手法と比較して、条件数、誤差許容値、行列のスパarsity に伴うスケーリングはどのように変化するか？
• RQ3 負の固有値を含むスペクトル和（例：エストラダ指数）の推定において、現在の量子手法にどのような限界があるか？
• RQ4 量子特異値変換は、非SPD行列や固有値ではなく特異値に基づく関数に適応可能か？
• RQ5 これらの量子スペクトル和推定器は、機械学習、統計、ネットワーク解析の分野で実用的応用を持つのか？

主な発見

• 逆行列のトレース推定において、所定の精度で実行時間 Õ(μ²κ²‖A‖/ε) を達成する。ここで μ はスケーリング係数、κ は条件数、ε は誤差許容値である。
• 対数行列式やフォン・ノイマンエントロピーといったスペクトル和の推定において、アルゴリズムは n（行列サイズ）に関して多項式対数的（poly-logarithmically）にスケールし、条件数および誤差に対して多項式的依存性を示し、古典的手法よりもサブ線形な高速化を実現する。
• 特異値を用いることで、非SPD行列に対しても一般化可能であり、シュタットン-pノルムの推定においても同様の複雑度境界を達成できる。
• 逆行列のトレース推定アルゴリズムは、相対誤差 ε を精度で達成し、非ゼロ要素数に線形にスケールする古典的手法を上回る。
• 現在の SVT を用いた手法では、負の固有値を含むため、エストラダ指数は効率的に推定できない。代替として、量子信号処理やスペクトルシフトを用いるアプローチが提案される。
• 本研究は、共分散行列の対数行列式推定、三角形数え上げ、グラフにおけるスパニングツリー列挙といった応用分野における量子サブルーチンの基盤を確立する。