[論文レビュー] Quantum phase transition from bounded to extensive entanglement entropy in a frustration-free spin chain

Zhao Zhang, Amr Ahmadain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Quantum many-body systems参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正確に解ける基底状態を有する、フラストレーションフリーで並進不変なスピン鎖の連続的族を導入し、有界なから体積則に及ぶ量子臨界転移を示す。可調パラメータを用いて色付きモッツキン経路の均一重ね合わせを変形することで、面積則に反する $√{n}$ の量子もつれエントロピーから体積則スケーリングを持つ状態へと移行する。これは、フラストレーションフリー性と非 degeneracy を保ちつつ、もつれ構造における新しい臨界転移を示している。

ABSTRACT

We introduce a continuous family of frustration-free Hamiltonians with exactly solvable ground states. We prove that the {ground state of our model is non-degenerate and exhibits} a novel quantum phase transition from bounded entanglement entropy to a massively entangled state with volume entropy scaling. The ground state may be interpreted as a deformation away from the uniform superposition of colored Motzkin paths, showed by Movassagh and Shor to have a large (square-root) but sub-extensive scaling of entanglement into a state with an extensive entropy.

研究の動機と目的

• 正確に解ける基底状態を有する、フラストレーションフリーで非簡約的かつ並進不変なハミルトニアンの連続的族を構築すること。
• このようなモデルにおけるもつれエントロピーのスケーリング、特に量子臨界転移との関係を調査すること。
• フラストレーションフリー性と非簡約性を保ちつつ、有界なから体積則へのもつれエントロピーの遷移を探索すること。
• 経路の高さと色相関がスピン鎖におけるもつれを生成する役割を理解すること。
• 局所的でフラストレーションフリーなハミルトニアンを持つモデルで、体積則のもつれが達成可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 基底状態は、鎖の中間部で高い高さに達する経路を優遇する重みをもつ色付きモッツキン経路の重ね合わせとして構成される。
• 変形パラメータ $ t $ が、経路の最大高さに基づく重みを制御し、$ t > 1 $ のときには高い経路が優遇される。
• すべての局所的項が可換であり、基底状態を消滅させるようにハミルトニアンを設計することで、フラストレーションフリー性を確保する。
• 経路振幅 $ \tilde{M}_{n,m} $ の再帰的マッピングを用いて、経路高さの確率分布を計算する。
• 最初の $ n $ スピンの縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピーを用いてもつれエントロピーを計算する。
• 不等式を用いて $ t $, $ s $, および $ n $ に依存する、経路確率 $ \tilde{p}_{n,m} $ の境界を導出し、エントロピーのスケーリング行動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラストレーションフリーで並進不変なスピン鎖が、有界なから体積則へのもつれエントロピーへの連続的量子臨界転移を示せるか？
• RQ2 色付きモッツキン経路状態の族において、変形パラメータ $ t $ の関数としてもつれエントロピーはどのようにスケーリングするか？
• RQ3 フラストレーションフリーなモデルにおける広範なもつれを生成する要因として、経路の高さと色相関の役割は何か？
• RQ4 相互作用範囲を拡大せずに、局所的でフラストレーションフリーなハミルトニアンを持つモデルで、体積則のもつれが達成可能か？
• RQ5 有界もつれエントロピー領域と体積則領域におけるスペクトルギャップの振る舞いは何か？また、もつれスケーリングとどのように関係するか？

主な発見

• 変形パラメータ $ t $ の増加に伴い、モデルは有界もつれエントロピーから体積則スケーリングへの連続的量子臨界転移を示す。
• $ t > 1 $ のとき、もつれエントロピーは系サイズに線形にスケーリングし、$ S_n \propto \log\left(\frac{d-1}{2}\right)n $ となる。ここで $ d $ は局所ヒルベルト空間次元を表す。
• 色なしモッツキン経路モデルに対応する臨界点では、もつれエントロピーは $ O(\sqrt{n}) $ にスケーリングし、面積則に反する。
• パラメータ範囲全域で基底状態は非簡約的かつフラストレーションフリーであり、正確な可解性が保たれている。
• $ t > 1 $ のとき、高さの高い経路の確率は高さに指数的に減少し、エントロピー境界の収束を保証する。
• 体積則エントロピー領域におけるスペクトルギャップの上界は、$ O(n^{-2}) $ よりも速く減少すると予想され、ギャップのより強い閉じ方を示唆する。