[論文レビュー] Quantum q-Langlands Correspondence

Mina Aganagic, Edward Frenkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、6次元の小さなストリング理論の conformal limit における双対性から、${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$代数の$q$-deformed conformal blockと量子アフィン代数$\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$のそれとを同一視することにより、幾何学的Langlands対応の量子$q$-変形を提案する。この同型写像は、Nakajimaのquiver多様体の量子K理論を用いて、すべての単純ラジカルLie代数について証明される。この対応は、物理的実現としての量子Langlands双対性を提供する。

ABSTRACT

We formulate a two-parameter generalization of the geometric Langlands correspondence, which we prove for all simply-laced Lie algebras. It identifies the q-conformal blocks of the quantum affine algebra and the deformed W-algebra associated to two Langlands dual Lie algebras. Our proof relies on recent results in quantum K-theory of the Nakajima quiver varieties. The physical origin of the correspondence is the 6d little string theory. The quantum Langlands correspondence emerges in the limit in which the 6d string theory becomes the 6d conformal field theory with (2,0) supersymmetry.

研究の動機と目的

• 単純ラジカルLie代数$\mathfrak{g}$に対して、${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$の$q$-deformed conformal blockと量子アフィン代数$\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$との間の$q$-deformed量子Langlands対応を確立すること。
• この同型写像が、6次元の小さなストリング理論のconformal limitから生じることを示し、物理的構造と数学的構造を結びつけること。
• Nakajimaのquiver多様体の量子K理論を通じて、この対応の幾何的実現を提供すること。
• 頂点関数と局所化を用いて、古典的幾何Langlands対応をその量子的および$q$-deformed版に一般化すること。

提案手法

• ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$と$\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$の両方の$q$-deformed conformal blockを、Nakajimaのquiver多様体の量子K理論における頂点関数として表現すること。
• quiver多様体のモジュライ空間における固定点の寄与を計算するために、局所化技術を用いること。
• GIT商のK理論における等化積分と留数を用いて、頂点関数の積分公式を導出すること。
• 退化公式と差分方程式を適用し、$q$-KZ方程式と conformal block を関連付けること。
• $q$-deformed頂点関数と安定な包絡体（stable envelopes）を用いた明示的同一化により、同型写像を確立すること。
• S-dualityと3次元quiverゲージ理論における欠陥分配関数を通じて、数学的構造と6次元の小さなストリング理論を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子Langlands対応をどのように$q$-deformed化し、$q$-deformed ${\mathcal{W}}_{q,t}$-代数と量子アフィン代数を関連付けることができるか？
• RQ2 quiver多様体とその量子K理論の観点から、$q$-deformed対応の幾何的起源は何か？
• RQ3 6次元の小さなストリング理論は、S-dualityと欠陥演算子を介して、どのように$q$-deformed量子Langlands双対性を実現するか？
• RQ4 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$と$\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$の conformal block は、積分表現によって明示的に同一化可能か？
• RQ5 $A_1$の場合における$q$-KZ方程式の$z$-解と$a$-解を構成する際に、楕円的安定包絡体（elliptic stable envelope）は果たす役割は何か？

主な発見

• ${\mathcal{W}}_{q,t}(\mathfrak{g})$の$q$-deformed conformal blockと$\widehat{{}^{L}\mathfrak{g}}$との間の同型写像が、すべての単純ラジカルLie代数$\mathfrak{g}$に対して証明され、$q$-deformed量子Langlands対応が確立された。
• この同型写像は、Nakajimaのquiver多様体の量子K理論を通じて実現され、conformal blockはトーラス固定点上の積分として表現される。
• $\mathfrak{g} = A_1$の場合、$q$-KZ方程式とその$z$-解は、$X = T^*\mathbb{P}^{n-1}$上で幾何的に実現され、安定包絡体から導かれる明示的積分公式が得られる。
• $A_1$の場合の$q$-Virasoro conformal blockは、楕円的安定包絡体を介して、$q$-deformed ${\mathcal{W}}$-代数の頂点関数と一致することが示された。
• 6次元の小さなストリング理論のconformal limitは、6次元の(2,0)超共形場理論を生成し、その中で量子Langlands双対性がカテゴリカル同型として現れる。
• この構成により、$q$-deformed設定におけるGaitsgory–Lurie予想が物理的に実現され、3次元quiverゲージ理論と量子幾何Langlandsプログラムが結びつけられた。