[論文レビュー] Quenched large deviations for random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|ArXiv.org|Apr 1, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界な跳躍をもつ$\mathbb{Z}^d$上での確率的環境におけるランダムウォークのクエンチド大偏差原理（LDP）を、粒子の視点とレート関数の変分公式を用いて確立する。1次元の場合の最小化子に対するアンサツを検証し、先行する最近接隣接結果を有界跳躍を持つランダムウォークへ一般化する。

ABSTRACT

We take the point of view of a particle performing random walk with bounded jumps on $\mathbb{Z}^d$ in a stationary and ergodic random environment. We prove the quenched large deviation principle (LDP) for the pair empirical measure of the environment Markov chain. By an appropriate contraction, we deduce the quenched LDP for the mean velocity of the particle and obtain a variational formula for the corresponding rate function. We propose an Ansatz for the minimizer of this formula. When $d=1$, we verify this Ansatz and generalize the nearest-neighbor result of Comets, Gantert and Zeitouni to walks with bounded jumps.

研究の動機と目的

• 有界跳躍をもつ確率的環境におけるランダムウォークの平均速度のクエンチド大偏差原理を確立すること。
• 環境マルコフ連鎖のペア経験測度からの縮約を用いて、クエンチドレート関数の変分公式を導出すること。
• 1次元の場合の変分公式の最小化子に対するアンサツを提示し、検証すること。
• Comets, Gantert, および Zeitouniの最近接隣接結果を、$d=1$における有界跳躍を持つランダムウォークへ一般化すること。
• 粒子の視点とDoob $h$-変換フレームワークを用いて、クエンチドLDPを分析すること。

提案手法

• クエンチド測度$P_x^\omega$を用いて、環境マルコフ連鎖のペア経験測度のクエンチドLDPを定式化する。
• 縮約を適用して、平均速度のクエンチドLDPを導出し、レート関数の変分公式を得る。
• 環境カーネルの構造と不変測度に基づいて、変分公式の最小化子に対するアンサツを提示する。
• 粒子の視点を用いて、環境マルコフ連鎖を主要な確率過程として取り扱う。
• クエンチド測度下での不変測度と遷移核を分析するために、Doob $h$-変換を用いる。
• モーメント条件とGarsia-Rodemich-Rumsey定理を用いて、スケーリングされた関数の等連続性を確立し、$d=1$におけるアンサツを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常的かつ混合的な確率的環境下で、有界跳躍をもつランダムウォークの平均速度のクエンチド大偏差レート関数は何か？
• RQ2 環境マルコフ連鎖のペア経験測度からの縮約を用いて、クエンチドレート関数の変分公式を導出できるか？
• RQ3 変分公式の最小化子に対する提示されたアンサツは、有界跳躍をもつ1次元の場合に成り立つか？
• RQ4 クエンチドLDPは、Comets, Gantert, および Zeitouniの最近接隣接結果を、有界跳躍を持つランダムウォークへどのように一般化するか？
• RQ5 クエンチド設定において、レート関数の下半連続性または連続性を保証する条件は何か？

主な発見

• 定常的かつ混合的な確率的環境下で、$\mathbb{Z}^d$上に有界跳躍をもつランダムウォークの平均速度のクエンチドLDPが確立された。
• 環境マルコフ連鎖のペア経験測度のクエンチドLDPからの縮約を用いて、クエンチドレート関数の変分公式が導出された。
• 1次元の場合に、変分公式の最小化子に対するアンサツが検証され、与えられた仮定の下でその有効性が確認された。
• Comets, Gantert, および Zeitouniの最近接隣接クエンチドLDP結果が、$d=1$における有界跳躍を持つランダムウォークへ一般化された。
• 一般条件下で、レート関数が有限かつ下半連続であることが示されたが、連続であるとは限らない。
• 周期的環境の場合、状態空間の有限次元性と一様楕円性により、レート関数$\mathfrak{I}$は連続である。