[論文レビュー] Regularity of Kähler-Ricci flow

Gang Tian, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoなファノ多様体上の正規化されたケーラー・リッチフローに対して、正則性定理を確立し、$L^p$-ノルムが $p > n$ に対して一様に有界であるならば、フローの極限が実codimension 4以上の閉集合を除いて滑らかであり、収束先が収縮型ケーラー・リッチソリトンであることを示している。この結果により、次元 $n \leq 3$ におけるハミルトン＝ティアン予想およびヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想が確認される。主な貢献は、正則性仮定の下での部分的 $C^0$ 評価の確立であり、これは先行研究のケーラー・アインシュタイン計量およびソリトンへの一般化である。

ABSTRACT

In this short note we announce a regularity theorem for Kähler-Ricci flow on a compact Fano manifold (Kähler manifold with positive first Chern class) and its application to the limiting behavior of Kähler-Ricci flow on Fano 3-manifolds. Moreover, we also present a partial $C^0$ estimate to the Kähler-Ricci flow under the regularity assumption, which extends previous works on Kähler-Einstein metrics and shrinking Kähler-Ricci solitons (cf. \cite{Ti90}, \cite{DoSu12}, \cite{Ti12}, \cite{PSS12}). The detailed proof will appear in \cite{TiZh13}.

研究の動機と目的

• 正規化されたケーラー・リッチフローの極限に対する正則性基準を、$L^p$-有界なリッチ曲率に基づいて確立すること。
• 一様な $L^p$ 有界性（$p > n$）のもとで、極限空間が実codimension $\geq 4$ の特異集合を除いて滑らかであることを証明すること。
• 正則性仮定の下で、ケーラー・リッチフローに対する部分的 $C^0$ 評価を拡張し、ケーラー・アインシュタイン計量および収縮型ソリトンの結果を一般化すること。
• 正則性および $C^0$ 評価の結果を用いて、次元 $n \leq 3$ におけるハミルトン＝ティアン予想およびヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想を確認すること。
• ファノ多様体のK安定性が、フロー収束およびソリトンの一意性を介して、低次元におけるケーラー・アインシュタイン計量の存在を示すこと。

提案手法

• ペレラの擬局所定理および $L^p$-有界リッチ曲率（$p > n$）かつ一様局所体積非収縮性を満たす多様体の正則性理論を適用する。
• 完全な証明において確立された（[23]を参照）、ケーラー・リッチフローに沿ったリッチ曲率の $L^4$ 界を用い、定理2.1における $L^p$ 条件を満たす。
• リッチポテンシャルのペレラの $C^1$ 評価を用いて、$L^2$-ノルムのホロモーフィック切断 $K_M^{-l}$ の分析を通じて、フローに対する部分的 $C^0$ 評価を導出する。
• 接続および曲率に関するボッハーナ型およびワイツェンボック型の公式を用い、ホロモーフィック切断の勾配および $L^2$ ノルムを制御する。
• チーリング＝コールディング＝ティアンのコンパクトネスおよびソリトンへの一般化を用いて、ソボレフ定数および切断の成長に関する一様界を導出する。
• チーリング＝グロモフ位相における収束および部分的 $C^0$ 評価を用いて、特異集合を複素部分多様体（codimension $\geq 2$）に精査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファノ多様体上の正規化されたケーラー・リッチフローが、実codimension $\geq 4$ の特異集合を除いて滑らかなケーラー・リッチソリトンに収束するための条件は何か？
• RQ2 極限空間の正則性仮定の下で、ケーラー・アインシュタイン計量に対する部分的 $C^0$ 評価をケーラー・リッチフローに拡張できるか？
• RQ3 一様な $L^p$-有界性（$p > n$）が、グロモフ＝ハウスドルフ位相における極限空間の正則性を示唆するか？
• RQ4 極限空間の正則性は、低次元におけるヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想とどのように関係するか？
• RQ5 ケーラー・リッチフローに沿った $L^4$ 界を用い、部分的 $C^0$ 評価を介して、ファノ3次元多様体に対するハミルトン＝ティアン予想を確認できるか？

主な発見

• 任意の $p > n$ およびある $\Lambda < \infty$ に対して $\int_M |\mathrm{Ric}(g(t))|^p \, dv_{g(t)} \leq \Lambda$ が成り立つならば、ケーラー・リッチフローの極限空間 $M_\infty$ は実codimension $\geq 4$ の閉部分集合 $\mathcal{S}$ を除いて滑らかである。
• フローは $\mathcal{S}$ を除いて $C^\infty$ 位相で、$M_\infty \setminus \mathcal{S}$ 上の滑らかなケーラー・リッチソリトン $g_\infty$ に収束する。これは、低次元におけるハミルトン＝ティアン予想の確認を意味する。
• 任意のファノ多様体上でのケーラー・リッチフローに沿って、リッチ曲率の $L^4$ 界が一様に成立することが示され、正則性定理への応用が可能になる。
• 正則性仮定の下で $l \to \infty$ の列に対して部分的 $C^0$ 評価が成立し、$M_\infty$ が特異集合が複素codimension $\geq 2$ の正規射影多様体であることを示唆する。
• 次元 $n \leq 3$ のファノ多様体に対してヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想が確認され、K安定性がケーラー・アインシュタイン計量の存在を示唆する。
• K安定性のもとで、極限空間 $M_\infty$ は元の多様体 $M$ とバイホロモーフィックであり、極限計量 $g_\infty$ はケーラー・アインシュタイン計量である。これは、低次元における予想の解決を意味する。