[論文レビュー] Renormalization in the Theory of Open Quantum Systems via the Self-Consistency Condition

Marek Winczewski, Robert Alicki|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、標準的なマスター方程式におけるラム＝スタークシフトによって引き起こされる開放量子系の力学における熱力学的不整合を解消するための自己整合性条件を提案する。再生されたハミルトニアンと定常状態の間の整合性を強制することで、ギブズ状態が定常状態として回復する一貫した再正則化手順が導かれる。これにより、デイヴィス- GKSL形式および積層形式における動的補正と静的平均力ハミルトニアンの整合が図られる。

ABSTRACT

We investigate the topic of renormalization in the theory of weakly interacting open quantum systems. Our starting point is an open quantum system interacting with a single heat bath. For a given setup, we discuss that the stationary state of the Davies-GKSL equation is thermodynamically inconsistent with the presence of the Lamb-Stark shift term. For this reason, we postulate the self-consistency condition for the dynamical equations. The condition fixes the renormalization procedure and recovers the thermodynamical consistency. In this way, we rederive the cumulant equation to illustrate how the self-consistency condition enters the derivation of the dynamical equations. The physical interpretation of the renormalization procedure is discussed in terms of the Born approximation. Furthermore, we compare the Lamb-Stark shift term (dynamical correction) with the second-order (static) correction to the so-called mean-force (Gibbs state) Hamiltonian. The discrepancy between the static and the dynamical correction questions the physical meaning of the latter one. Finally, we formulate a simplified renormalization scheme that can be directly applied to Davies-GKSL or Bloch-Redfield equations.

研究の動機と目的

• ラム＝スタークシフトがエネルギー準位を変化させるが、定常状態が元の再正則化されていないハミルトニアンに関しては変わらない弱い結合開放量子系における熱力学的不整合を扱う。
• 標準的な動的方程式（例：デイヴィス-GKSL、ブロイ・レドフィールド）が、動的補正と定常状態の分布の間でエネルギースケールの不一致を生じさせることで熱力学的整合性に反することを特定する。
• 再正則化されたハミルトニアンと定常状態の間の自己整合性条件を導入し、長時間極限において熱力学的整合性を保証する。
• この条件を用いて積層方程式を再導出し、それが一貫した力学を生成する役割を果たすことを示す。
• 静的（平均力）と動的（ラム＝スターク）補正のハミルトニアンを比較し、定常状態と整合しない場合に動的補正の物理的妥当性が疑問視されることを検討する。

提案手法

• 自己整合性条件を適用し、マスター方程式の定常状態が再正則化されたハミルトニアンに関するギブズ状態と一致することを要請する。
• 2次摂動論（ボルン近似）を用いて、結合定数の2次までで切り捨てた、縮約された力学の積層展開を導出する。
• 積層スーパーオペレーターの長時間極限を導出し、デイヴィス-GKSL生成子に似た形に収束することが示されるが、時間に依存する補正項を含む。
• 積層力学の長時間極限が、再正則化されたハミルトニアンに関するギブズ状態と同一の定常状態を生成することを示す。
• スペクトル密度の依存性（例：指数カットオフ付きオーミック）を分析し、スーパーオペレーターが長時間極限において、速さ𝒪(t⁻²)でその形に収束することを証明する。
• 数値的に、長時間極限において詳細つり合い条件が回復されることを確認し、定常状態が正しいギブズ形式を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜデイヴィス-GKSL や ブロイ・レドフィールド といった標準的なマスター方程式は、ラム＝スタークシフトを含んでも熱力学的不整合を示すのか？
• RQ2 再正則化されたハミルトニアンと定常状態の間の自己整合性条件が、この不整合をどのように解消できるのか？
• RQ3 ボルン近似および摂動展開の観点から、再正則化手順の物理的解釈は何か？
• RQ4 静的（平均力）と動的（ラム＝スターク）補正のハミルトニアンを比較すると、なぜ動的補正が物理的に疑わしいとされるのか？
• RQ5 デイヴィス-GKSL や ブロイ・レドフィールド方程式に直接適用可能で、CPTP力学と熱力学的整合性を保つ簡略化された再正則化スキームを導出できるか？

主な発見

• 自己整合性条件により、力学の定常状態が再正則化されたハミルトニアンに関するギブズ状態と一致することが保証され、熱力学的不整合が解消される。
• 積層スーパーオペレーターの長時間極限は、デイヴィス-GKSL生成子に比例する形に収束し、時間に依存する補正項を含む。収束速度は𝒪(t⁻²)である。
• 積層方程式の定常状態は、再正則化されたデイヴィス-GKSL方程式の定常状態と同一であり、ギブズ状態と整合することが確認される。
• 長時間極限において詳細つり合い条件が回復され、定常状態が正しいエネルギー準位の指数関数的依存性を持つことが保証される。
• 動的ラム＝スタークシフト項が静的平均力ハミルトニアンと整合しないことが示され、再正則化が自己整合的でない場合、その物理的妥当性が疑問視される。
• CPTP力学と熱力学的整合性を保ちつつ、デイヴィス-GKSL や ブロイ・レドフィールド方程式に直接適用可能な簡略化された再正則化スキームが構築される。