[論文レビュー] Resolved Toroidal Orbifolds and their Orientifolds

Dieter Lüst, Susanne Reffert+2 more|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、特異的トーラス型軌道の商を、トーリック幾何を用いて滑らかなカラビ＝ヤウ多様体に一貫して解消する手法を提示する。これにより、交差環と例外的除算子の位相的構造が特定される。さらに、オルソフォールド商を構築し、それらから生じるO平面配置を計算するとともに、解消後の交差数の修正を導出し、タイプIIB弦理論の compactification における moduli の安定化を明示的に解析可能にする。

ABSTRACT

We discuss the resolution of toroidal orbifolds. For the resulting smooth Calabi-Yau manifolds, we calculate the intersection ring and determine the divisor topologies. In a next step, the orientifold quotients are constructed.

研究の動機と目的

• トーリック技法を用いて、トーラス型軌道の商を滑らかなカラビ＝ヤウ多様体に一貫して解消する一般的な幾何的枠組みを構築すること。
• 解消されたカラビ＝ヤウ多様体における例外的除算子の位相的構造を特定し、交差環を計算すること。
• 解消された軌道のオルソフォールド商を構築し、それらから生じるO平面配置とタドポールキャンセレーションを分析すること。
• 特に非幾何的 moduli に注目し、ケーラー moduli と複素構造 moduli がオルソフォールド射影の下でどのように変化するかを特定すること。
• 解消された軌道とそのオルソフォールドの明示的例（特に $ζ_3 \times \u03b6_3$ の場合）を提供し、完全な位相的および交差データを含むこと。

提案手法

• 局所的軌道特異点 $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_n$ を、ブローアップによる例外的除算子の導入によってトーリック幾何を用いて解消する。
• 被覆トーラス $T^6$ からのグローバルな格子データを用いて、局所的解消からグローバルなカラビ＝ヤウ多様体を構築する。
• 除算子類の線形関係を導出し、三重交差数を評価することで、解消されたカラビ＝ヤウ多様体の交差環を計算する。
• 軌道群作用における固定点集合と共役類の解析により、除算子の位相的構造を特定する。
• 軌道群と $\mathbb{Z}_2$ 種の反転 $z^i \to -z^i$ を組み合わせたオルソフォールド作用を構築し、固定軌跡をO3平面またはO7平面として特定する。
• 商空間化に伴う影響を反映させるために、除算子類の係数（例：$E_5$ の係数が $1/2$ に変更）を調整し、オルソフォールドの場合の交差数を修正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、トーリック幾何を用いて、トーラス型軌道の商を一貫して滑らかなカラビ＝ヤウ多様体に解消できるか？
• RQ2 解消されたカラビ＝ヤウ多様体における交差環の構造と例外的除算子の位相的構造は何か？
• RQ3 オルソフォールド射影は、解消された幾何におけるO平面配置と交差数にどのように影響するか？
• RQ4 どのケーラー moduli がオルソフォールディング後に非幾何的になるか、そしてそれらはどのように変化するか？
• RQ5 解消された $ζ_3 \times \u03b6_3$ および他の軌道の明示的例を、完全な位相的および交差データとともに構築できるか？

主な発見

• 特定の $ζ_3 \times \u03b6_3$ 軌道の場合、解消されたオルソフォールドでは、$H^{1,1}_+$ コホモロジー類に属する $E_{5\alpha\beta\gamma}$ 除算子の線形結合に包まれた14個のO7平面が得られる。
• オルソフォールドの場合、グローバル除算子類における $E_5$ の係数は $1/2$ に低下し、交差環の構造が変更される。
• 三重交差数 $E_{1,\alpha\gamma}^3 = 4$ および $E_{5,\alpha\beta\gamma}^3 = 12$ は、解消されたオルソフォールド幾何において明示的に計算されている。
• オルソフォールドの場合、交差数 $R_1 R_2 R_3 = 3/2$ が得られ、これは商空間化に起因する非自明な補正を示している。
• 解消された $ζ_3 \times \u03b6_3$ オルソフォールドでは $h^{1,1}_- = 37$ であり、13個の除算子が $E_{5\alpha\beta\gamma}$ から、24個が $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_3$ の固定線から由来する。
• 原点におけるO3平面は解消された場合に存在しなくなり、解消されたパッチとは異なる17個の同値類のO3平面が残り、軌道極限の配置が保存される。