[論文レビュー] Resurgence and Dynamics of O(N) and Grassmannian Sigma Models

Gerald V. Dunne, Mithat Ünsal|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 82被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ℝ×S¹ 上の O(N) および Grassmannian sigma モデルに復元理論を適用し、非インスタントン 2次元的鞍点が 𝔬(N) のアフィン根系に関連する新しい鞍点に分岐化することを明らかにした。これらの分岐化した鞍点――特に中性ビオン――は摂動的曖昧性をキャンセルし、質量ギャップを生成する。これにより、復元的トランスシリーズを用いた非摂動的連続的定義が可能となり、主要な結果は大N極限で確認され、重力的・ゲージ理論双対性や重フォルムと関連している。

ABSTRACT

We study the non-perturbative dynamics of the two dimensional ${O(N)}$ and Grassmannian sigma models by using compactification with twisted boundary conditions on $\mathbb R imes S^1$, semi-classical techniques and resurgence. While the $O(N)$ model has no instantons for $N>3$, it has (non-instanton) saddles on $\mathbb R^2$, which we call 2d-saddles. On $\mathbb R imes S^1$, the resurgent relation between perturbation theory and non-perturbative physics is encoded in new saddles, which are associated with the affine root system of the ${\frak o}(N) $ algebra. These events may be viewed as fractionalizations of the 2d-saddles. The first beta function coefficient, given by the dual Coxeter number, can then be intepreted as the sum of the multiplicities (dual Kac labels) of these fractionalized objects. Surprisingly, the new saddles in $O(N)$ models in compactified space are in one-to-one correspondence with monopole-instanton saddles in $SO(N)$ gauge theory on $\mathbb R^3 imes S^1$. The Grassmannian sigma models ${ m Gr}(N, M)$ have 2d instantons, which fractionalize into $N$ kink-instantons. The small circle dynamics of both sigma models can be described as a dilute gas of the one-events and two-events, bions. One-events are the leading source of a variety of non-perturbative effects, and produce the strong scale of the 2d theory in the compactified theory. We show that in both types of sigma models the neutral bion emulates the role of IR-renormalons. We also study the topological theta angle dependence in both the $O(3)$ model and ${ m Gr}(N, M)$, and describe the multi-branched structure of the observables in terms of the theta-angle dependence of the saddle amplitudes.

研究の動機と目的

• N≥4 の O(N) モデルではインスタントンが存在しないため、非摂動的効果が見えないという問題を、代替の有限作用の古典的解を同定することで解決すること。
• 復元理論とトランスシリーズ展開を用いて、2次元 O(N) および Grassmannian sigma モデルの非摂動的連続的定義を確立すること。
• 中性ビオンとキントインスタントンが質量ギャップを生成し、摂動的曖昧性をキャンセルする役割を明らかにすること、特に重フォルムとの関係を明確にすること。
• 2次元スカラー場理論の半古典的解析を、トポロジカルなシータ角依存性とマルチブランチ型観測量を含むように拡張すること。
• 2次元 O(N) モデルのダイナミクスと4次元ゲージ理論を、ℝ³×S¹ 上の O(N) モデルの鞍点と SO(N) モノポールインスタントンの対応関係を通じて結びつけること。

提案手法

• ℝ×S¹ 上の 2次元 O(N) および Grassmannian sigma モデルにねじれ境界条件を導入し、非摂動的ダイナミクスにアクセスする。
• トランスシリーズ展開を通じて摂動的および非摂動的領域を結ぶ復元理論の適用。
• 𝔬(N)代数のアフィン根系に関連する、新しい非インスタントン鞍点（分岐化した 2次元的鞍点）の同定。
• 鞍点の振幅とそれらが真空エネルギーおよび質量ギャップに与える寄与の計算、中性および荷電ビオンを含む。
• 断続的連続性と半古典的技法を用いて、Borel 平面の構造と復元的関係の解析。
• 大N極限および既知の 4次元ゲージ理論や N=4 SYM の結果（特に cusp 異常次元と凝集体キャンセレーション）と結果の比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N≥4 の O(N) モデルではインスタントンが存在しないため、非摂動的ダイナミクスをどのように一貫して記述できるか？
• RQ2 O(N) モデルにおける第一のβ関数係数 β₀=N/2 の起源は何か？ そして、分岐化した鞍点の多重度とどのように関係するか？
• RQ3 これらのモデルにおける中性ビオンは、どのように赤外重フォルムの役割を果たし、摂動的曖昧性をキャンセルするのか？
• RQ4 シータ角依存の鞍点振幅に基づく、観測量のマルチブランチ構造の物理的解釈は何か？
• RQ5 ℝ×S¹ 上の O(N) モデルにおける新しい鞍点は、ℝ³×S¹ 上の SO(N) ゲージ理論におけるモノポールインスタントンとどのように関係するか？

主な発見

• N≥4 の O(N) モデルは、有限作用の 2次元的鞍点を有し、これらは 𝔬(N) のアフィン根系に関連する新しい鞍点に分岐化する。これにより、インスタントンが存在しないにもかかわらず、非摂動的構造が説明可能となる。
• 第一のβ関数係数 β₀=N/2 は、これらの分岐化した鞍点の双対 Kac ラベル（多重度）の和として解釈され、係数に幾何的起源が与えられる。
• O(N) モデルにおける中性ビオン [B_ii] は φ=0± で二重の曖昧性を示し、真空エネルギーの摂動的曖昧性をキャンセルし、非摂動的結果が一意に定まる。
• O(6) モデルでは、中性ビオンの振幅が真空エネルギーの虚部をキャンセルし、復元的性質と整合し、物理的曖昧性が存在しないことを示している。
• O(N) および Grassmannian sigma モデルの小円ダイナミクスは、1イベント（キントインスタントン）と2イベント（ビオン）の希釈ガスとして記述され、1イベントが2次元理論の強いスケールを生成する。
• ℝ³×S¹ 上の O(N) モデルの鞍点と SO(N) ゲージ理論におけるモノポールインスタントンの対応関係により、2次元スカラー場理論と4次元ゲージ理論との直接的な接続が確立される。