[論文レビュー] Rigidity and height bounds for certain post-critically finite endomorphisms of projective space

Patrick Ingram|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、全的に不変な超平面とd乗写像制限を持つ特定のモニック多項式写像のクラスにおいて、post-critically finite (PCF) な自己準同型のThurston型剛性結果を確立する。このクラスにおけるPCF写像は可算個の0次元部分多様体の和集合をなし、Weil高さの有界性を示す算術的高さの同値性を導出する。これにより、PCF写像は数体上に定義され、算術的幾何学的手法が適用可能であることが示される。

ABSTRACT

The holomorphic endomorphism f of projective space is called post-critically finite (PCF) if the forward image of the critical locus, under iteration of f, has algebraic support (i.e., is a finite union of hypersurfaces). In the case of dimension 1, a deep result of Thurston implies that there are no algebraic families of PCF morphisms, other than a well-understood exceptional class known as the flexible Lattes maps. This note proves a corresponding result in arbitrary dimension, for a certain subclass of morphism. Specifically, we restrict attention to morphisms f of degree at least two, with a totally invariant hyperplane H, such that the restriction of f to H is the dth power map in some coordinates. This condition defines a subvariety of the space of coordinate-free endomorphisms of projective space (of a given dimension). We prove that there are no families of PCF maps in this space, and derive several related arithmetic results.

研究の動機と目的

• 射影空間の特定の部分クラスにおけるpost-critically finite (PCF) 自己準同型の剛性結果を確立すること。
• モニック多項式自己準同型のモジュライ空間におけるPCF写像の軌跡が、可算個の0次元部分多様体の和集合であることを証明すること。
• 幾何的Weil高さと臨界脱出率関数の間の算術的高さ同値性を導出し、PCF写像の有界高さを示すこと。
• この族に属するすべてのPCF写像が数体上に定義されることを示し、算術的幾何学的手法の適用を可能にすること。
• 2次元例において計算的検証を用いて、すべてのPCF写像を分類し、既知の例と同相であることを確認すること。

提案手法

• 全的に不変な超平面 $H$ を持ち、$f|_H$ が座標で $d$ 乗写像に等しい $\mathbb{P}^N$ の自己準同型のクラスを定義する。
• 代数幾何学と変形理論を用いて、この族におけるPCF写像がモジュライ空間内で孤立的（0次元的）であることを証明する。
• 局所 $v$-進解析による分岐除集合の軌道に基づき、臨界脱出率関数 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ を定義する。
• $p$-進およびアーキメデス的推定を用いて、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上に定義された写像について $h_{\mathrm{crit}}(f) = h_{\mathrm{Weil}}(f) + O(1)$ の高さ同値性を確立する。
• Weil高さのNorthcott性質を応用し、この族におけるPCF写像が有界高さを持つことを導出する。
• SageとMapleを用いた明示的計算と検証により、2次元の場合に同相性についての全探索と分類を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全的に不変な超平面をもつモニック多項式写像のクラスにおいて、正次元のPCF自己準同型の族は存在するか？
• RQ2 この族に属する写像について、臨界脱出率 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ と幾何的Weil高さ $h_{\mathrm{Weil}}(f)$ との間に関係は存在するか？
• RQ3 この族に属するすべてのPCF写像は有界なWeil高さを持ち、数体上に定義されるか？
• RQ4 2次元で次数2の場合の、PCF写像の同相類の完全な集合は何か？
• RQ5 このような写像の臨界軌道構造は、計算的および算術的手法によって完全に分類可能か？

主な発見

• 代数閉体 $k$ が特徴0または $p > d$ であるとき、$\mathsf{P}^N_d(k)$ におけるPCF写像の軌跡は、可算個の0次元部分多様体の和集合である。これは剛性を示す。
• $\mathbb{C}$ 上のすべてのPCF写像は、$\mathbb{Q}$ の有限次拡大上に定義され、したがって $\mathsf{P}^N_d(\overline{\mathbb{Q}})$ に属する。
• 写像 $f \in \mathrm{Pow}^N_d(\overline{\mathbb{Q}})$ に対して、臨界脱出率 $h_{\mathrm{crit}}(f)$ とWeil高さ $h_{\mathrm{Weil}}(f)$ は $h_{\mathrm{crit}}(f) = h_{\mathrm{Weil}}(f) + O(1)$ を満たし、PCF写像の有界高さを示す。
• 2次元で次数2の場合、$a,d$ が偶数で、$|a|,|b|,|c|,|d| \leq 119$ を満たす整数4つ組 $(a,b,c,d) \in \mathbb{Z}^4$ のうち、PCF写像をもたらすのはたった22組に限られる。
• 残りの22個のPCF写像は、すべて6つの既知の例のいずれかと同相であり、臨界軌道構造は1変数のPCF写像 $w \mapsto w^2 + c$ のそれと一致する。
• 127個の候補4つ組のうち105個については、係数の大きさ推定により $\lambda_{\mathrm{crit},\infty}(f) > 0$ が確認された。残りの4つについては、$f^3_*(C_f)$、$f^4_*(C_f)$、または $f^5_*(C_f)$ を用いて臨界軌道の脱出なしを検証した。