[論文レビュー] Scheduling Under Non-Uniform Job and Machine Delays

Rajmohan Rajaraman, David Stalfa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2022

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非一様通信遅延を伴う非均一マシンにおける先行順序制約付きジョブスケジューリングに対する、初めての多対数的近似アルゴリズムを提示する。ジョブおよびマシン固有の遅延を含む。漸近的かつ真の多対数的近似比を有する新しいスケジューリングアルゴリズムを導入し、一意マシン先行順序制約付きスケジューリング問題への還元を通じて難易度結果を確立し、非一様遅延スケジューリングモデルの理解に基礎的段階を築く。

ABSTRACT

We study the problem of scheduling precedence-constrained jobs on heterogenous machines in the presence of non-uniform job and machine communication delays. We are given as input $n$ unit size precedence-ordered jobs and $m$ related machines such that machine $i$ can execute up to $m_i$ jobs at a time. Each machine $i$ has an in-delay $ρ^{\mathrm{in}}_i$ and out-delay $ρ^{\mathrm{out}}_i$. Likewise, each job $v$ has an in-delay $ρ^{\mathrm{in}}_v$ and out-delay $ρ^{\mathrm{out}}_v$. In a schedule, job $v$ may be executed on machine $i$ at time $t$ if each predecessor $u$ of $v$ is completed on $i$ before time $t$ or on any machine $j$ before time $t - (ρ^{\mathrm{in}}_i + ρ^{\mathrm{out}}_j + ρ^{\mathrm{out}}_u + ρ^{\mathrm{in}}_v)$. The goal is to construct a schedule that minimizes makespan. We consider schedules that allow duplication of jobs as well as schedules which do not. When duplication is allowed, we provide an asymptotic $\mathrm{polylog}(n)$-approximation algorithms both when duplication is allowed and when it is not. We also obtain a true $\mathrm{polylog}(n)$-approximation for symmetric machine and job delays. These are the first polylogarithmic approximation algorithms for scheduling with non-uniform communication delays. We also consider a more general model, where the delay can be an arbitrary function of the job and the machine executing it: job $v$ can be executed on machine $i$ at time $t$ if all of $v$'s predecessors are executed on $i$ by time $t-1$ or on any machine by time $t - ρ_{v,i}$. We present an approximation-preserving reduction from the Unique Machines Precedence-constrained Scheduling (UMPS) problem, first defined in [DKRSTZ22], to this job-machine delay model. The reduction entails logarithmic hardness for this delay setting, as well as polynomial hardness if the conjectured hardness of UMPS holds.

研究の動機と目的

• 非一様通信遅延を伴うスケジューリングにおける、証明可能な良い近似アルゴリズムの欠如に対処すること。
• 先行順序制約付きの非均一かつネットワーク接続された計算環境におけるジョブおよびマシン遅延のモデル化と分析。
• ジョブの複製を許容する・しないにかかわらず、非一様遅延下でのマケスピィンを最小化するスケジューリングアルゴリズムの開発。
• 一意マシン先行順序制約付きスケジューリング（UMPS）問題から一般非一様遅延モデルへの、近似比を保つ最初の還元を確立すること。
• 非一様遅延スケジューリング問題の計算複雑性の地図を整理・探求すること。

提案手法

• ジョブ v がマシン i で時刻 t にスケジュール可能であるのは、すべての先行ジョブが t − (ρin_i + ρout_j + ρout_u + ρin_v) よりも早く終了している場合に限る。これはマシンおよびジョブ固有の遅延を考慮したものである。
• 先行ジョブ数のしきい値条件を用いてスケジューリングラウンドをトリガーする、動的負荷分散を実現するリストスケジューリングに基づくアルゴリズム。
• 時間刻みを通信遅延およびマシン容量に基づいて決定するラウンドごとの再帰的スケジューリング戦略。
• 各ラウンドにスケジュールされるジョブ総数が総負荷の半分以上であることを示す重要な補題を適用し、ラウンド数に対する対数的バウンドを可能にする。
• 一意マシン先行順序制約付きスケジューリング（UMPS）問題を非一様遅延モデルに還元し、近似比を保つ。
• 帰納的解析および不変式を用いて正しさを証明し、n および問題パラメータにおける多対数的要因を含むマケスピィンのバウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様ジョブおよびマシン遅延を伴うスケジューリングにおいて、多対数的近似アルゴリズムを達成できるか？
• RQ2 非一様遅延スケジューリングにおいて、ジョブの複製は近似比にどのような影響を及えるか？
• RQ3 均一なマシン速度およびサイズは、非一様遅延モデルにおける近似品質にどのように影響するか？
• RQ4 対称的遅延（ρin_i = ρout_i）は非対称な場合に比べ、より強い近似保証を達成できるか？
• RQ5 非一様遅延スケジューリング問題の計算難易度は何か？また、UMPS などの既知の難問とどのように関係するか？

主な発見

• ジョブ複製を許容する非一様遅延スケジューリングにおいて、漸近的多対数(n)-近似アルゴリズムが達成された。
• 均一な速度、均一なサイズ、およびジョブ遅延なしの特殊ケースにおいて、本稿は非一様遅延に対する最良の近似比 O(polylog(n)) を達成した。
• 複製なしのスケジュールにおいて、一般モデルに対して漸近的多対数(n)-近似が得られ、遅延が対称的な場合には真の多対数(n)-近似が達成された。
• UMPS への還元を通じて、非一様遅延モデルにおける対数的難易度結果を確立し、部分多項式的近似が困難である可能性を示唆した。
• UMPS から一般遅延モデルへの還元により、UMPS の予想される難易度が真であれば、多項式的近似不可能性が保証された。
• アルゴリズムフレームワークにより、O(polylog(αρ ¯mk¯sk) · αρ + |U|/(|⟨k⟩|·¯mk¯sk) + ρ) の形のマケスピィンバウンドが保証され、主要パラメータにおいて多対数的である。