[論文レビュー] Singularities of Cox Rings of Fano Varieties

Morgan V. Brown|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素数体上の滑らかで完全なファノ多様体のコックス環が、ゴレンシュタインで canonical 特異点をもつことを証明しており、より一般には、任意の ℚ-因子的ロジファANO対のコックス環が、対数終票特異点をもつことを示している。証明はピカール数に関する帰納法を用い、中間のモーリー・ドリーム空間を射影化されたラインバンドルを介して構成し、ℤ/mℤ-バンドルをコンパクト化する際に最小モデルプログラムを適用する。特異点はエタール被覆および codimension 2 における巡回被覆において保存される。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete Fano variety over $\mathbb{C}$. We show that the Cox ring $\bigoplus_{L\in ext{Pic}(X)}H^0(X,\mathcal{O}_X(L))$ is Gorenstein with canonical singularities.

研究の動機と目的

• 滑らかなファノ多様体およびより一般のロジファANO対に対するコックス環の特異点を確立すること。
• 有限生成なコックス環が一般にコhen-Macaulay であるという予想を解消し、反例を用いて一般には成り立たないことを示すこと。
• コックス環の特異点に関する結果を、ロジファANOおよびロジカル・カラビ＝ヤウ設定へと拡張すること。
• GIT 商と双有理幾何学を用いた、コックス環特異点を分析する体系的で帰納的な方法を提供すること。
• デル・ペッツォ表面、射影空間のブ lows up、および高次元ファノ多様体のコックス環に関する結果を統一すること。

提案手法

• 多様体 X のピカール数 ρ に関する帰納法を用い、ρ = 1 の場合には、Tomari と Watanabe の重層環に関する既知の結果から結論が導かれる。
• 適切なラインバンドル L を用いて、射影化バンドル ℙ(𝒪_X ⊕ 𝒪_X(L)) を介して、X 上の ℤ/mℤ-バンドルの小さなコンパクト化 X′ を構成する。
• X′ を ℚ-因子的ロジファANO対に変形するために最小モデルプログラム（MMP）を適用する。このとき、klt 特異点を持つ。
• モーリー・ドリーム空間のコックス環が、より単純なコックス環の有限アーベル被覆であることに依存しており、codimension 2 でエタールである。
• リードの巡回被覆トリックを用いて、X のコックス環と X′ のコックス環との間の関係を群作用と不変量を介して関係づける。
• Hu と Keel の GIT 商とコックス環に関する結果を応用し、X を Spec(Cox(X)) を (Gm)^ρ による商として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなファノ多様体のコックス環はどのような特異点をもつか？
• RQ2 ℚ-因子的ロジファANO対のコックス環は、対数終票特異点をもつか？
• RQ3 コックス環の特異点は、巡回被覆および GIT 商において保存されるか？
• RQ4 ピカール数はコックス環の特異点にどのように影響するか？
• RQ5 ロジカル・カラビ＝ヤウ対をもつモーリー・ドリーム空間のコックス環も、対数正則特異点をもつか？

主な発見

• 複素数体上の滑らかで完全なファノ多様体のコックス環は、ゴレンシュタインで canonical 特異点をもつ。
• 任意の ℚ-因子的ロジファANO対のコックス環は、対数終票特異点をもち、正規かつコhen-Macaulay である。
• ρ = 1 の多様体については、コックス環は正規であり、既知の重層環に関する結果から対数終票特異点を引き継ぐ。
• X′ を ℤ/mℤ-バンドルの小さなコンパクト化として構成することで、X′ が ℚ-因子的かつロジファANOで klt 特異点を持つことが保証される。
• X のコックス環は、X′ のコックス環の有限かつ codimension 2 でエタールな拡張であり、対数終票特異点が保存される。
• ロジカル・カラビ＝ヤウの場合も同様に扱い、同じ仮定のもとでコックス環が対数正則特異点をもつことが示される。