[論文レビュー] Slowly Synchronizing Automata with Idempotent Letters of Low Rank

Mikhail V. Volkov|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の同期化可能なオートマトンを、状態数が2倍で、ランク n/2 の追加の冪等入力文字を備えた新しいオートマトンに変換する半群論的構成を提示する。この方法は同期化を保ちつつリセット閾値を2倍にし、ランクが低い冪等文字を備えたオートマトンが漸近的に最適なリセット閾値 n²/2 を達成できることを示している。この構成により、特定の構造的性質を有するゆっくり同期化するオートマトンを体系的に生成する方法が得られる。

ABSTRACT

We use a semigroup-theoretic construction by Peter Higgins in order to produce, for each even $n$, an $n$-state and 3-letter synchronizing automaton with the following two features: 1) all its input letters act as idempotent selfmaps of rank $\dfrac{n}2$; 2) its reset threshold is asymptotically equal to $\dfrac{n^2}2$. In the revised version a few inaccuracies (spotted by the anonymous referees of the previous version) have been removed and several relevant references have been added.

研究の動機と目的

• 非二進アルファベットと冪等入力文字を備えたゆっくり同期化するオートマトンの既知の例の少なさに対処すること。
• 理論的下界 (n−1)² に近づくリセット閾値を有する無限族の同期化 n-オートマトンを構成すること。
• ランク n/2 の冪等文字を備えたオートマトンが、漸近的に最適な同期化閾値に達できることを示すこと。
• 特定の構造的性質を有する、非二進の適切な同期化オートマトンを高リセット閾値で体系的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• Higgins による半群論的構成を用い、与えられた DFA を 2n 状態と k+1 個の冪等入力文字を備えた新しいオートマトンに変換する。
• 変換は同期化性を保ち、元のオートマトンのリセット閾値を2倍にする。
• 新オートマトンの各入力文字は、状態集合上でランク n/2 の冪等自己写像として作用する。
• この構成により、結果として得られるオートマトンは適切（proper）であることが保証され、すなわちアルファベット内のすべての文字が同期化に不可欠である。
• この方法は、元のオートマトンに新しい状態を追加し、遷移関数を変更して冪等性と同期化性を保つ新しい遷移関数を定義することに依存する。
• 正しさの証明には、新オートマトンが同期化性を保ち、かつそのリセット閾値が元のオートマトンの2倍であることを示すことが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体系的な構成により、ランクが低い冪等文字と高リセット閾値を備えた非二進の同期化オートマトンを生成可能か？
• RQ2 ランク n/2 の冪等入力文字を備えた n 状態オートマトンが達成可能な最大リセット閾値は何か？
• RQ3 この変換は、適切性や強い連結性といった重要な同期化性質を保っているか？
• RQ4 この構成により、漸近的に最適な閾値を有する無限族のゆっくり同期化オートマトンを生成可能か？

主な発見

• 提案された構成により、任意の偶数 n に対して、3文字の、すべての入力文字がランク n/2 の冪等自己写像として作用する n 状態の同期化オートマトンが生成される。
• 構成されたオートマトンのリセット閾値は漸近的に n²/2 に等しく、ゆっくり同期化オートマトンの理論的下界と一致する。
• 変換 H(A) は、任意の入力オートマトン A のリセット閾値を2倍にし、同期化性を保ちつつ、ランク n/2 の冪等文字を1つ追加する。
• この方法により、すべてのアルファベット文字が同期化に不可欠である「適切な」オートマトンが生成され、これは非二進設定では稀である。
• この構成により、ランクが低い冪等文字を備えたオートマトンが漸近的に最適な同期化性能に達できることを示しており、このような制約下で高リセット閾値を達成することが難しいという仮定に疑問を呈している。