[論文レビュー] Small Polynomial Time Universal Petri Nets

Dmitry A. Zaitsev|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Petri Nets in System Modeling参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、14の場所と29の遷移を有する小さな普遍的ペトリ・ネットが、もともと指数時間計算量であるとされていたが、インhibitorアークと移動するゼロを用いた逆転制御フローを用いることで、マルチチャネル遷移を備えたタイムド・ペトリ・ネットとして解釈することで多項式時間計算量に改善可能であることを示している。その結果得られる決定的算術ペトリ・ネット（DAPN）は、線形時間で弱普遍的チューリングマシンをシミュレートでき、小さな普遍的ペトリ・ネットが高性能計算のための効率的モデルであることを証明する。

ABSTRACT

The time complexity of the presented in 2013 by the author small universal Petri nets with the pairs of places/transitions numbers (14,42) and (14,29) was estimated as exponential. In the present paper, it is shown, that their slight modification and interpretation as timed Petri nets with multichannel transitions, introduced by the author in 1991, allows obtaining polynomial time complexity. The modification concerns using only inhibitor arcs to control transitions' firing in multiple instances and employing an inverse control flow represented by moving zero. Thus, small universal Petri nets are efficient that justifies their application as models of high performance computations.

研究の動機と目的

• 従来構築された小さな普遍的ペトリ・ネットが指数時間計算量を示していたことによる非効率性に対処すること。
• 既存の小さな普遍的ペトリ・ネットに対するわずかな修正が、その時間計算量を劇的に改善できることを示すこと。
• インhibitorアークと移動するゼロを用いた逆転制御フローが、多項式時間計算を可能にすることを確立すること。
• 決定的算術ペトリ・ネット（DAPN）の概念を導入し、形式化することにより、効率的計算のモデルを提供すること。
• 小さな普遍的ペトリ・ネットが、多項式時間で普遍的チューリングマシンや他の計算モデルをシミュレートできることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、チューリングマシンの制御ヘッドの左移動を明示的に表現するための新しい場所であるLEFTを導入することで、既存の小さな普遍的ペトリ・ネット（UPN(14,29)）を変更している。
• 複数回の遷移発火を制御するために、インhibitorアークのみを用いて、決定的動作を保証し、指数的爆発を回避している。
• 制御フローを逆転させるために、条件のチェックに移動するゼロを用い、従来のトークンベースのチェックを置き換えている。
• 変更されたネットは、各遷移の発火時間が1単位でチャネルが無制限であるタイムド・ペトリ・ネットとして解釈されている。
• 決定的インhibitorペトリ・ネットとタイムド・マルチチャネル遷移を組み合わせた、新たなペトリ・ネットのクラス、決定的算術ペトリ・ネット（DAPN）が四元組(P, T, F, μ⁰)として形式化されている。
• 動的挙動は、インデックス順に優先順位を付ける逐次発火ルールにより定義されており、発火回数は除算とゼロチェックを含むvia演算によって計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 14の場所と29の遷移を有する小さな普遍的ペトリ・ネットは、多項式時間計算量を達成するために修正可能か？
• RQ2 インhibitorアークと移動するゼロを用いた逆転制御フローは、ペトリ・ネットにおける効率的計算を可能にする役割を果たすか？
• RQ3 ペトリ・ネットをマルチチャネル遷移を備えたタイムド・ネットとして解釈すると、その時間計算量にどのような影響を与えるか？
• RQ4 得られたモデルは、線形時間で弱普遍的チューリングマシンをシミュレートできるか？
• RQ5 セルフオームやタグシステムなどの他の計算モデルを多項式時間でシミュレートできる普遍的ペトリ・ネットを構築可能か？

主な発見

• UPN(14,29)をもとに導出された変更済みペトリ・ネットPolyUPN(15,29)は、WUTM(2,4)を時間O(14·k)、空間O(k)でシミュレートする。ここでkはチューリングマシンのステップ数を表す。
• 変更済みネットの時間計算量は多項式的であり、特にシミュレートされた弱普遍的チューリングマシンのステップ数に線形に依存する。
• インhibitorアークと移動するゼロを用いた逆転制御フローの使用により、ネットは決定的かつ効率的な方法でチューリングマシンの遷移をシミュレートできる。
• ネットの挙動は、各ステップで有効な最大の遷移集合を同期的に発火可能にする決定的算術ペトリ・ネット（DAPN）として形式化されている。
• この構成により、小さな普遍的ペトリ・ネットが、セルフオーム、サイクルタグシステム、2タグシステムなどの他のモデルを多項式時間でシミュレートできることを示している。
• 結果として、小さな普遍的ペトリ・ネットが高性能計算のための効率的モデルであることが確認され、ペトリ・ネットベースの計算パラダイムにおけるその応用を正当化する。