[論文レビュー] Starlike Functions associated with a Petal Shaped Domain

S. Sivaprasad Kumar, Kush Arora|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Analytic and geometric function theoryMathematics参考文献 20被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、単位円板をペタル型領域にマップする関数 $1 + \sinh^{-1}(z)$ による劣微分を用いて定義される、星型関数の新しい部分クラス $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ を導入する。著者らは、このクラスおよび関連する関数族 $\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$、$\mathcal{F}_3$ に対して鋭い半径結果を確立し、各クラスに属する関数 $f$ に対して $f(rz)/r \in \mathcal{S}^{*}_{\rho}$ となる最大の $r$ の正確な値を提示する。

ABSTRACT

This paper deals with some radius results and inclusion relations that are established for functions in a newly defined subclass of starlike functions associated with a petal shaped domain.

研究の動機と目的

• 複素平面上のペタル型領域に関連する星型関数の新しい部分クラスを定義し、その性質を研究すること。
• 新しいクラス $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 及び関連関数族に対する鋭い半径結果を確立すること。
• $1 + \sinh^{-1}(z)$ に劣微分する関数の包含関係および幾何的性質を調査すること。
• さまざまな関数クラスに対する $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径の正確な値を導出し、極値関数を用いて鋭さを保証すること。

提案手法

• 劣微分を用いてクラス $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ を定義：$\frac{zf'(z)}{f(z)} \prec 1 + \sinh^{-1}(z)$、ここで $1 + \sinh^{-1}(z)$ は $\mathbb{D}$ をペタル型領域にマップする。
• 単位円板における正則関数の既知の劣微分法および性質を用い、関数 $zf'(z)/f(z)$ の境界を導出する。
• 補題 3.1 を用いて、$\mathcal{F}_1$、$\mathcal{F}_2$、$\mathcal{F}_3$ に属する関数に対して $\left| \frac{zf'(z)}{f(z)} - 1 \right|$ を推定し、正則関数の比の実部を用いる。
• 極値関数 $f_0(z) = z(1+z^n)/(1-z^n)^2$ や $f_0(z) = z(1+z^n)^2/(1-z^n)$ を構成し、半径推定値の鋭さを検証する。
• $\sinh^{-1}(z)$ のべき級数展開を用いて、$\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ の極値関数 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$ を導出する。
• 境界上での特定の点 $z = R e^{i\pi/n}$ で等号が達成されることを示し、鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス $\mathcal{F}_1$ に属する関数 $f$ に対して、$f(rz)/r \in \mathcal{S}^{*}_{\rho}$ となるような鋭い半径値は何か？
• RQ2 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ の半径推定値は、クラス $\mathcal{F}_2$ 及び $\mathcal{F}_3$ に対してどのように変化するか？
• RQ3 クラス $\mathcal{BS}^{*}(0)$ に対する正確な $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径は何か？他の既知のクラスと比較するとどうなるか？
• RQ4 極値関数 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$ は、クラス $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ において鋭い境界を達成するために使用可能か？
• RQ5 指数変換を通じて、ペタル型クラス $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ とセイムン型クラス $\Delta^{*}$ の間に関数的関係があるか？

主な発見

• クラス $\mathcal{F}_1$ の鋭い $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径は $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_1) = \left(\frac{\sqrt{4n^2 + (\sinh^{-1}(1))]^2} - 2n}{\sinh^{-1}(1)}\right)^{1/n}$ に等しい。
• クラス $\mathcal{F}_2$ の鋭い $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径は $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_2) = \left(\frac{\sqrt{9n^2 + 4\sinh^{-1}(1)(n + \sinh^{-1}(1))} - 3n}{2(n + \sinh^{-1}(1))}\right)^{1/n}$ に等しい。
• クラス $\mathcal{F}_3$ の $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径は $\mathcal{F}_2$ と同一であり、$R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_3) = R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_2)$ が成り立つ。
• 極値関数 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$ は $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ の鋭い境界を与える。その級数展開は $f_0(z) = z + z^2 + \frac{z^3}{2} + \frac{z^4}{9} - \frac{z^5}{72} - \cdots$ である。
• $\mathcal{BS}^{*}(0)$ の $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-半径は $\sinh^{-1}(1) \approx 0.881374$ であり、$\mathcal{F}_1$ よりも大きい。
• 極値関数が $z = R e^{i\pi/n}$ で $\left| \frac{zf'(z)}{f(z)} - 1 \right| = \sinh^{-1}(1)$ に等号を達成することにより、結果の鋭さが示された。