[論文レビュー] String Topology: Background and Present State

Dennis Sullivan|ArXiv.org|Oct 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、向き付けられた多様体の自由なループ空間上での閉弦の2次元場理論を、等長チェインとマスター方程式 $dX + X * X = 0$ を用いて確立する。これにより、量子リー双代数構造が定義される。この構成は、コンパクト化されたリーマン面のモジュライ空間から生じ、ストリングトポロジー作用のチェインレベルへの一般化を提供し、ホモトピーに関して自己同型恒等式を解消する。

ABSTRACT

The data of a "2D field theory with a closed string compactification" is an equivariant chain level action of a cell decomposition of the union of all moduli spaces of punctured Riemann surfaces with each component compactified as a pseudomanifold with boundary. The axioms on the data are contained in the following assumptions. It is assumed the punctures are labeled and divided into nonempty sets of inputs and outputs. The inputs are marked by a tangent direction and the outputs are weighted by nonnegative real numbers adding to unity. It is assumed the gluing of inputs to outputs lands on the pseudomanifold boundary of the cell decomposition and the entire pseudomanifold boundary is decomposed into pieces by all such factorings. It is further assumed that the action is equivariant with respect to the toroidal action of rotating the markings. A main result of compactified string topology is the Theorem (closed strings): Each oriented smooth manifold has a 2D field theory with a closed string compactification on the equivariant chains of its free loop space mod constant loops. The sum over all surface types of the top pseudomanifold chain yields a chain X satisfying the master equation dX + X*X = 0 where * is the sum over all gluings. This structure is well defined up to homotopy. The genus zero parts yields an infinity Lie bialgebra on the equivariant chains of the free loop space mod constant loops. The higher genus terms provide further elements of algebraic structure called a "quantum Lie bialgebra" partially resolving the involutive identity. There is also a compactified discussion and a Theorem 2 for open strings as the first step to a more complete theory. We note a second step for knots.

研究の動機と目的

• 定数ループを除いた自由ループ空間上の等長チェインを用いた閉弦コンパクト化を伴う2次元場理論の形式化。
• ループ積、括弧、コブラケットといった古典的ストリングトポロジー作用を、ホモトピー整合性を保ったチェインレベルに拡張すること。
• リー双代数構造における自己同型恒等式を1次ホモトピーに関して解消し、'量子リー双代数'の概念を導入すること。
• モジュライ空間のコンパクト化と接合を用いて、幾何的、代数的、ホモトピー的視点を統合すること。
• ホモトピー論における分解技術を用いて、オープンストリングトポロジーおよびシンプレクティックトポロジーへの応用の基盤を提供すること。

提案手法

• 穴あきリーマン面のモジュライ空間のセル分解を構成し、境界付きの擬多様体としてコンパクト化する。
• ラベル付き入力（接方向を伴う）と重み付き出力（合計が1に等しい）を用いた等長チェインレベルの作用を定義する。
• 擬多様体境界に沿った接合操作を実装し、すべてのcodimension-oneストラトゥムが要因分解によりカバーされるようにする。
• ポincare双対コキュールを用いて、チェインレベルでの広がりのある交差積を定義し、古典的交差積を一般化する。
• マスター方程式 $dX + X * X = 0$ を定式化する。ここで $X$ はすべての曲面タイプの最高次元チェインの和であり、$*$ は接合を表す。
• ホモトピー論における $E_inity$ および $L_inity$ 構造を用いて、代数的恒等式（例：ジャコビ、コジャコビ、自己同型）をホモトピーに関して解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジーにおける古典的ループ積および括弧は、完全なホモトピー整合性を備えたチェインレベル構造へどのように持ち上げられるか？
• RQ2 すべてのコンパクト化されたリーマン面のモジュライ空間の最高次元チェインの和から、どのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 チェインレベルの構成において、リー双代数構造における自己同型恒等式はどのようにホモトピーに関して解消されるか？
• RQ4 マスター方程式 $dX + X * X = 0$ は、閉弦の完全な2次元場理論をどのように符号化するか？
• RQ5 このフレームワークは、dgOAの分解およびクランシキー型モデルを用いて、どのようにオープンストリングやシンプレクティックトポロジーへ拡張可能か？

主な発見

• マスター方程式の生成ゼロ部分は、定数ループを除いた自由ループ空間上の等長チェインに $L_inity$ 双代数構造を与える。
• 高(genus)の寄与を含めた完全な構造は、自己同型恒等式を1次ホモトピーに関して解消する'量子リー双代数'を定義する。
• マスター方程式 $dX + X * X = 0$ はホモトピーに関して適切に定義されており、ループ空間上の完全な2次元場理論を支配する。
• チェインレベルのループ積は無限にチェインホモトピー可換かつ結合的であり、$E_inity$ 構造を実現する。
• コブラケットおよびコジャコビ関係は、明示的なチェインホモトピーを伴ってチェインレベルで実現され、ホモトピー整合性が保証される。
• このフレームワークは、自由な三角形dgOAによる代数的構造の分解を提供し、マスター方程式のパッケージを保存するホモトピー同値性を保つ。