[論文レビュー] Subdivision of categories and the homotopy category of Cat

del Hoyo, Matias Luis|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、小領域の圏（Cat）と位相空間（Top）のホモトピー圏の同値性を示すクイレンの定理の新しい証明を提示する。カテゴリーの分割を導入し、マコーディアのA空間に関する結果を活用することで、部分順序集合のホモトピー圏を経由して両者のホモトピー圏を結びつける。これにより、古典的な同値性への新たな道筋が提示される。

ABSTRACT

We propose an alternative proof to the well known result -- attributed to Quillen -- that asserts that the homotopy categories of Cat and Top are equivalent. In order to do that, we relate both homotopy categories with the homotopy category of partially ordered sets, by using subdivision of categories and some classical results by McCord on A-spaces.

研究の動機と目的

• 小領域の圏（Cat）と位相空間（Top）のホモトピー圏が同値であるというクイレンの古典的結果の代替的証明を提供すること。
• 部分順序集合のホモトピー圏を経由して、CatとTopのホモトピー圏の間の関係を確立すること。
• カテゴリーの分割を、小領域のホモトピー的構造を再解釈するための主要な技術的道具として活用すること。
• マコーディアのA空間に関する古典的結果を応用し、圏的および位相的ホモトピー理論の橋渡しを行うこと。

提案手法

• カテゴリーの分割を用いて、小領域のホモトピー的構造を精緻化すること。
• ナーヴ関手を用いて、圏を単体的集合に結びつけ、結果的に位相空間に結びつけること。
• マコーディアのA空間に関する定理を適用し、特定の圏の分類空間への写像がホモトピー同値であることを示すこと。
• 小領域のホモトピー圏と部分順序集合のホモトピー圏の間で、弱同値のジグザグを確立すること。
• マコーディアの結果により、部分順序集合のホモトピー圏がCW複体のホモトピー圏と同値であるという事実を活用すること。
• カテゴリーの分類空間とその分割の分類空間との間のホモトピー同値を構成することで、ホモトピー型を保存すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリーの分割を核となる技術的手法として用いることで、CatとTopのホモトピー圏の同値性を再証明できるか？
• RQ2 カテゴリーの分割は、部分順序集合のホモトピー論およびA空間とどのように関係するか？
• RQ3 マコーディアのA空間に関する結果を、圏的設定におけるホモトピー同値を確立するためにどの程度活用できるか？
• RQ4 部分順序集合とその分類空間を経由して、Catのホモトピー圏からTopのホモトピー圏への標準的な経路が存在するか？
• RQ5 ナーヴ関手は、カテゴリーの分割と位相的ホモトピー型を結ぶ際に果たす役割は何か？

主な発見

• カテゴリーの分割は、その分類空間と分割後の分類空間との間にホモトピー同値を誘導し、ホモトピー型を保存する。
• 小領域の圏のホモトピー圏は、分割構成を介して部分順序集合のホモトピー圏と同倹である。
• マコーディアのA空間に関する結果は、適切な構造を持つ圏の分類空間がCW複体とホモトピー同値であることを示す上で不可欠である。
• 部分順序集合を経由する弱同値のジグザグは、CatとTopの間のクイレンの同値性への新たな道筋を確立する。
• カテゴリーのナーヴとその分割のナーヴはホモトピー同値であるため、分割のホモトピー的不変性が裏付けられる。
• 証明は、クイレンの元来の議論に依存せず、部分順序集合を中間圏として用いることで、Catのホモトピー圏がTopのホモトピー圏と同値であることを示している。