[論文レビュー] Sum rules for trace anomalies and irreversibility of the renormalization-group flow

Damiano Anselmi|ArXiv.org|May 5, 2002

Theoretical and Computational Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トレース異常 $c$, $a$, および $a'$ の和則を導出することにより、偶数次元の量子場理論における renormalization-group (RG) フローの不可逆性を普遍的な枠組みで提案する。$\Delta a \geq 0$ が成立し、反射正定性を介して不可逆性が保証される。$\Delta a$ はトレース異常演算子の2点関数の積分として与えられ、$\Delta a = \Delta a'$ が特別なクラスのフローで成立する。このクラスでは、$\Delta a$ がベータ関数の下の面積と関連するスキーム不変な和則が成立する。

ABSTRACT

I review my explanation of the irreversibility of the renormalization-group flow in even dimensions greater than two and address new investigations and tests.

研究の動機と目的

• 偶数次元（2より大きい）における renormalization-group (RG) フローの不可逆性を、非摂動的トレース異常データを用いて確立すること。
• 偶数次元の量子場理論における中心的係数 $c$, $a$, および $a'$ に対する普遍的な和則を導出すること。
• UVとIRの固定点で $\Delta a = \Delta a'$ が成り立つ特別なクラスのRGフローを特定し、異常差とベータ関数の下の面積を関連付けること。
• 反射正定性とユニタリティの結果として $\Delta a \geq 0$ が成立する理論的基盤を提供すること。
• 導出された和則と異常差を用いて、理論を解析的および格子計算でテスト可能にするための基盤を提供すること。

提案手法

• コンフォーメル平坦な計量におけるトレース異常演算子 $\Theta$ の2点関数を分析することで、$c$, $a$, および $a'$ の和則を導出する。
• 演算子方程式 $\Theta = \frac{1}{120(4\pi)^2}\left[cW^2 - \frac{1}{4}a\mathrm{G} + \frac{2}{3}a'\Box R + \cdots\right]$ を用いて、異常を曲率不変量と関連付ける。
• $a'$ の正規化を、差 $\Delta a' = a_{\rm UV}' - a_{\rm IR}'$ でキャンセルされる曖昧性 $\delta a'$ を用いて固定し、スキーム不変性を保証する。
• 特別なクラスのフローで $\Delta c = \Delta a'$ が成り立ち、UVおよびIR固定点で $c = a$ ならば $\Delta a = \Delta a'$ が成立することを示す。
• $c = a$ のCFTにおけるトレース異常に比例する普遍的組み合わせ $\mathcal{G}_d$ を構築する。この演算子は局所的かつ共変的であり、次元 $d-4$ の演算子でリッチテンソルに作用する。
• トレース異常とベータ関数の下の面積を関連付ける和則 $\Delta a_d = \frac{\pi^n (d+1)}{n!} \int d^d x \, |x|^d \langle \Theta(x) \Theta(0) \rangle$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース異常 $c$ および $a$ の正確な結果を用いて、偶数次元におけるRGフローの不可逆性を証明できるか？
• RQ2 UVとIRの固定点間のRGフローにおいて、$\Delta c$, $\Delta a$, および $\Delta a'$ の差を支配する普遍的な和則は何か？
• RQ3 特別なクラスのRGフローで $\Delta a = \Delta a'$ が成り立つ場合があり、その物理的意味は何か？
• RQ4 和則 $\Delta a_d = \frac{\pi^n (d+1)}{n!} \int d^d x \, |x|^d \langle \Theta(x) \Theta(0) \rangle$ は、ベータ関数の下の面積とどのように関連するか？
• RQ5 この理論は、高次のループ計算や格子計算を用いて、特にQCDに類似した理論でテスト可能か？

主な発見

• すべての検討されたモデルにおいて、差 $\Delta a = a_{\rm UV} - a_{\rm IR}$ は常に非負であり、RGフローの不可逆性が証明される。
• $N=1$ $\mathrm{SU}(N_c)$ スーパーストロングQCDがコンフォーマルウィンドウ内にある場合、$\Delta a = \frac{5}{2}N_c N_f \left(1 - 3\frac{N_c}{N_f}\right)^2 \left(2 + 3\frac{N_c}{N_f}\right) \geq 0$ が成り立ち、不可逆性が確認される。
• 和則 $\Delta a_d = \frac{\pi^n (d+1)}{n!} \int d^d x \, |x|^d \langle \Theta(x) \Theta(0) \rangle$ は、トレース異常の2点関数を用いたスキーム不変かつ普遍的な $\Delta a$ の表現を提供する。
• 特別なクラスのフローで $\Delta c = \Delta a'$ が成り立つ場合、$\Delta a = \Delta a'$ も成立し、このクラスには古典的コンフォーマル対称性が破れているが $\Delta a = \Delta a'$ が保存される理論が含まれる。
• $\mathcal{G}_d = \mathrm{G}_d - \frac{2^{n-3}d(d-2)}{d-3} \mathcal{W}_0 + \sum_j h_d^j \mathcal{W}_j$ は、$c_d = a_d$ を満たすCFTを特徴付ける普遍的かつスキーム不変な演算子であり、その構造は共変性と次元によって固定される。
• 理論は、質量ゼロのQCDにおいて $a_{\rm IR} = 0$ を予測し、$\Delta a = a_{\rm UV}$ は和則を用いてテスト可能であり、低エネルギーにおける質量ギャップの存在とパイオン生成の間接的証拠を提供する。