[論文レビュー] Summability of Multi-Dimensional Trigonometric Fourier Series

Ferenc Weisz|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

Advanced Harmonic Analysis ResearchMathematics被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、多変数三角関数的フーリエ級数およびフーリエ変換のさまざまな和法（フェージェール、リエス、θ-和法、長方形和法）について、有界性およびほとんど everywhere 収束に関する結果を確立する。最大作用素が $H^p$ から $L^p$ への有界性を $p > p_0$ に対して示し、$p=1$ において弱型推定を得ることで、a.e. 収束を保証する。結果はフーリエ変換へと拡張され、ウィーナークラスおよび核関数のフーリエ変換の可積分性を用いた和法核に関する鋭い条件を含む。

ABSTRACT

We consider the summability of one- and multi-dimensional trigonometric Fourier series. The Fej{é}r and Riesz summability methods are investigated in detail. Different types of summation and convergence are considered. We will prove that the maximal operator of the summability means is bounded from the Hardy space $H_p$ to $L_p$, for all $p>p_0$, where $p_0$ depends on the summability method and the dimension. For $p=1$, we obtain a weak type inequality by interpolation, which ensures the almost everywhere convergence of the summability means. Similar results are formulated for the more general $θ$-summability and for Fourier transforms.

研究の動機と目的

• 多変数三角関数的フーリエ級数の $L^p$ 有界性およびさまざまな和法におけるほとんど everywhere 収束を確立すること。
• $f \in L^p$ および $f \in L(\log L)^{d-1}$ に対して $L^p$ 収束および a.e. 収束を保証する和法核（例：$\theta$-関数）の条件を特徴づけること。
• 円錐型および円錐型に似た集合を含む、長方形および制限付き和法への和法理論の拡張。
• 和法に付随する最大作用素の振る舞いを解析し、ハーディー空間および最大関数と関連付けること。
• 周期的でない設定への一般化として、$\mathbb{R}^d$ 上の $\theta$-和法によるフーリエ変換の理論を研究すること。

提案手法

• ハーディー空間 $H^p(T^d)$ および $H^p(\mathbb{R}^d)$ の理論、特に原子的分解と最大関数を用いる。
• 実変数的技法（補間および弱型推定）を用いて、最大作用素が $H^p$ から $L^p$ への有界性を証明する。
• 核関数の分析：フェージェール、リエス、ボッホナー＝リエス、および $\theta$-核関数の $L^1$-ノルムおよび $L^\infty$-ノルムを、それらのフーリエ変換の観点から特徴付ける。
• $\ell^q$-和法（三角形型、円形型、立方体型）および長方形和法を導入・解析し、制限なし収束と制限付き収束を区別する。
• ウィーナークラス $W(C, \ell^1)$ および $\hat{\theta} \in E'_\infty$ における条件を用いて、$\theta$-平均の収束を特徴付ける。
• 最大関数の推定および弱型不等式を用いて、特にライブニーツ点および強ライブニーツ点において a.e. 収束の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $p > p_0$ に対して、$\ell^q$-和法の最大作用素は $H^p(T^d)$ から $L^p(T^d)$ への有界性を示すか？
• RQ2 和法核 $\theta$ にどのような条件を課すと、$f \in L(\log L)^{d-1}(T^d)$ に対して $\sigma_\theta^n f$ が a.e. 収束するか？
• RQ3 $\sigma_\theta^*$ の有界性は、$\hat{\theta}$ の可積分性および衰減性とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathbb{R}^d$ 上のフーリエ変換の $\theta$-和法が $f \in L^1(\mathbb{R}^d)$ に対して a.e. 収束するための条件は何か？
• RQ5 ウィーナークラス $W(C, \ell^1)$ と、Lebesgue 点における $\theta$-平均の収束との正確な関係は何か？

主な発見

• $\ell^q$-和法の最大作用素は、$p > p_0$ に対してすべての $p$ で $H^p(T^d)$ から $L^p(T^d)$ への有界性を示す。ここで $p_0$ は $q$ および $d$ に依存する。
• $p = 1$ に対して、補間を用いて弱型 $(1,1)$ 不等式を確立し、和法の a.e. 収束を保証する。
• $\theta \in W(C, \ell^1)(\mathbb{R}^d)$、$\theta(0) = 1$、および $\|K_\theta^n\|_{E'_\infty(T^d)} \leq C$ かつ原点から離れたコンパクト集合上で一様に衰えるという条件下で、$\theta$-和法 $\sigma_\theta^n f$ はすべての $f \in L(\log L)^{d-1}(T^d)$ に対して a.e. $f$ に収束する。
• $\mathbb{R}^d$ 上のフーリエ変換の $\theta$-和法において、$f \in L^1(\mathbb{R}^d)$ の Lebesgue 点において a.e. 収束が成り立つのは、$\hat{\theta} \in E_\infty(\mathbb{R}^d)$ であるときである。
• 逆に、すべての $f \in L^1(\mathbb{R}^d)$ に対して $\sigma_\theta^n f \to f$ が Lebesgue 点で a.e. 収束するならば、$\hat{\theta} \in E_\infty(\mathbb{R}^d)$ である。これは鋭い条件を確立する。
• $\theta = \prod_{j=1}^d \theta_j$ で、各 $\theta_j \in V^2_1(\mathbb{R})$ または $\theta_j \in Mv^1_1(\mathbb{R})$ であるとき、$f \in L(\log L)^{d-1}(T^d)$ の Lebesgue 点において $\theta$-平均は a.e. 収束する。