[論文レビュー] Superconformal Index, BPS Monodromy and Chiral Algebras

Sergio Cecotti, Jaewon Song+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、4次元 ${\cal N}=2$ 超共形指数の特殊化 $t = qp^{N+1}$ かつ $p \to \exp(2\pi i)$ が、コンツェビッチ＝ソイベルマン BPS モノドロミー作用素の $N$ 乗のトレース $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$ を与えると提案する。この極限が、シュール指数の場合（$N=-1$）を一般化した2次元チラル代数 $Π_N$ の族を定義することを示唆し、$N>0$ の場合に $c^{2d} = 12Nc^{4d}$ として中心電荷を特定する。$S^2 \times T^2$ 上のコンpactificationと楕円的生成関数の計算による一貫性の確認が行われる。

ABSTRACT

We show that specializations of the 4d $\mathcal{N}=2$ superconformal index labeled by an integer $N$ is given by $ extrm{Tr}\,{\cal M}^N$ where ${\cal M}$ is the Kontsevich-Soibelman monodromy operator for BPS states on the Coulomb branch. We provide evidence that the states enumerated by these limits of the index lead to a family of 2d chiral algebras $\mathcal{A}_{N}$. This generalizes the recent results for the $N=-1$ case which corresponds to the Schur limit of the superconformal index. We show that this specialization of the index leads to the same integrand as that of the elliptic genus of compactification of the superconformal theory on $S^2 imes T^2$ where we turn on $\frac{1}{2} N$ units of $U(1)_r$ flux on $S^2$.

研究の動機と目的

• シュール指数（$N=-1$）が $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^{-1}$ として特定されることを、任意の整数 $N$ に対して指数の特殊化により一般化すること。
• 得られた指数の特殊化が、BPS モノドロミー作用素 $\cal M(q)$ の $N$ 乗のトレース $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$ に対応することを確立すること。
• 各特殊化に対応する2次元チラル代数 $\mathcal{A}_N$ の存在に裏付けを与えること。
• 2次元チラル代数 $\mathcal{A}_N$ の中心電荷を計算し、2次元 CFT の特性関数の性質と一貫性があることを確認すること。

提案手法

• 指数の特殊化 $t = qp^{N+1}$、$p \to \exp(2\pi i)$ を一般化し、$\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$ を抽出すること。
• $S^2$ 上に $\frac{1}{2}N$ 単位の $U(1)_r$ フラックスを伴う4次元 SCFT のコンパクト化により得られる2次元 $(0,2)$ 理論の楕円的生成関数を、ジェフリー＝キルワンの留数規則を用いて計算すること。
• 楕円的生成関数の被積分関数が、特殊化された指数の被積分関数と一致することを示し、双対性を確認すること。
• 指数のBPS状態内容を用いて、極端に弱い結合定数極限においてチラル代数 $\mathcal{A}_N$ を構成すること。
• アンドリュース＝ゴードンの恒等式とベイリー対の技法を用いて、$(A_1, A_{2n+1})$ アルギレス＝ダウグラー理論における $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^{-1}$ を計算すること。
• 明示的な特徴関数の数え上げとモジュラー性を用いて、$N>0$ の場合に $c^{2d} = 12Nc^{4d}$ および $N<0$ の場合に $c^{2d}_{\text{eff}} = -48N(c^{4d} - a^{4d})$ が成り立つことを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の整数 $N$ に対して、BPS モノドロミー作用素 $\cal M(q)$ の $N$ 乗が、4次元 ${\cal N}=2$ 超共形指数のwell-definedな特殊化に対応するか。
• RQ2 得られた指数の特殊化が、2次元チラル代数 $\mathcal{A}_N$ の特徴関数として解釈可能か。
• RQ3 2次元チラル代数 $\mathcal{A}_N$ の中心電荷は何か。4次元の $c$-関数および $a$-関数とどのように関係するか。
• RQ4 $S^2 \times T^2$ 上に $U(1)_r$ フラックスを伴う4次元 SCFT をコンパクト化すると、特殊化された指数と同じ被積分関数が再現されるか。
• RQ5 $c^{2d}$ および $c^{2d}_{\text{eff}}$ の中心電荷が、2次元 CFT のユニタリティおよびモジュラー性と一貫しているか。

主な発見

• 指数の特殊化 $t = qp^{N+1}$ および $p \to \exp(2\pi i)$ は、$\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$ を与え、$N=-1$ の場合を一般化する。
• $N > 0$ の場合、2次元チラル代数 $\mathcal{A}_N$ の中心電荷は $c^{2d} = 12Nc^{4d}$ であり、ユニタリ2次元 CFT の特徴関数としての $\cal M(q)^N$ のトレースと一致する。
• $N < 0$ の場合、有効中心電荷は $c^{2d}_{\text{eff}} = -48N(c^{4d} - a^{4d})$ であり、チラル代数の状態の成長と一貫している。
• $S^2$ 上に $\frac{1}{2}N$ 単位の $U(1)_r$ フラックスを伴うコンパクト化により得られる2次元 $(0,2)$ 理論の楕円的生成関数の被積分関数は、特殊化された指数の被積分関数と同一である。
• $(A_1, A_{2n+1})$ アルギレス＝ダウグラー理論における明示的計算により、$\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^{-1} = \prod_{n \neq 0, \pm 1 \mod (2n+3)} (1 - q^n)^{-1}$ が得られ、アンドリュース＝ゴードンの恒等式と一致する。
• 極端に弱い結合定数極限においてチラル代数 $\mathcal{A}_N$ を構成し、$\mathcal{A}_{-1}$ が既知のシュール指数チラル代数を回復する。